Номер 1.163, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.163*. Упростите выражение:

а) $ \frac{2^{-10n-2}}{2^{-6n-4} \cdot 2^{-4n+1}} $

б) $ \frac{7^{-n+2} \cdot 3^{-n-2}}{21^{-n}} $

а) Упростим выражение $\frac{2^{-10n - 2}}{2^{-6n - 4} \cdot 2^{-4n + 1}}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^{-6n - 4} \cdot 2^{-4n + 1} = 2^{(-6n - 4) + (-4n + 1)} = 2^{-6n - 4 - 4n + 1} = 2^{-10n - 3}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\frac{2^{-10n - 2}}{2^{-10n - 3}}$

Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$2^{(-10n - 2) - (-10n - 3)} = 2^{-10n - 2 + 10n + 3} = 2^{1} = 2$

Ответ: 2.

б) Упростим выражение $\frac{7^{-n + 2} \cdot 3^{-n - 2}}{21^{-n}}$.

Представим основание 21 в знаменателе как произведение простых чисел $7 \cdot 3$. Затем применим свойство степени произведения ($(ab)^m = a^m b^m$):

$21^{-n} = (7 \cdot 3)^{-n} = 7^{-n} \cdot 3^{-n}$

Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{7^{-n + 2} \cdot 3^{-n - 2}}{7^{-n} \cdot 3^{-n}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$(\frac{7^{-n + 2}}{7^{-n}}) \cdot (\frac{3^{-n - 2}}{3^{-n}}) = 7^{(-n + 2) - (-n)} \cdot 3^{(-n - 2) - (-n)} = 7^{-n + 2 + n} \cdot 3^{-n - 2 + n} = 7^2 \cdot 3^{-2}$

Вычислим полученное значение:

$7^2 \cdot 3^{-2} = 49 \cdot \frac{1}{3^2} = 49 \cdot \frac{1}{9} = \frac{49}{9}$

Так как получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть:

$\frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$

Ответ: $5\frac{4}{9}$.