Номер 1.160, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.160. Представьте в виде степени с основанием 4 выражение $16^{-3} \cdot 16^{0} \cdot \frac{1}{64} \cdot (2^{-7})^{-8}$.

1.160. Представьте в виде степени с основанием 4 выражение $16^{-3} \cdot 16^0 \cdot \frac{1}{64} \cdot (2^{-7})^{-8}$.

Для того чтобы представить данное выражение в виде степени с основанием 4, необходимо каждый множитель в выражении преобразовать к степени с основанием 4, а затем перемножить полученные степени.

Выполним преобразование каждого множителя по шагам:

1. Преобразование первого множителя $16^{-3}$:
   Основание 16 можно представить как степень числа 4, так как $16 = 4^2$.
   Подставим это в выражение: $16^{-3} = (4^2)^{-3}$.
   Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножаем показатели:
   $(4^2)^{-3} = 4^{2 \cdot (-3)} = 4^{-6}$.
2. Преобразование второго множителя $16^0$:
   Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $16^0 = 1$.
   Единицу можно представить как любое число (в нашем случае 4) в нулевой степени: $1 = 4^0$.
3. Преобразование третьего множителя $\frac{1}{64}$:
   Число 64 в знаменателе можно представить как степень числа 4: $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.
   Таким образом, дробь равна $\frac{1}{4^3}$.
   Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
   $\frac{1}{4^3} = 4^{-3}$.
4. Преобразование четвертого множителя $(2^{-7})^{-8}$:
   Сначала упростим это выражение, используя свойство возведения степени в степень:
   $(2^{-7})^{-8} = 2^{(-7) \cdot (-8)} = 2^{56}$.
   Теперь необходимо перейти от основания 2 к основанию 4. Мы знаем, что $4 = 2^2$, следовательно, $2 = \sqrt{4} = 4^{1/2}$.
   Подставим это в наше выражение:
   $2^{56} = (4^{1/2})^{56}$.
   Снова применим свойство возведения степени в степень:
   $(4^{1/2})^{56} = 4^{\frac{1}{2} \cdot 56} = 4^{28}$.

Теперь, когда все множители представлены как степени с основанием 4, объединим их в исходном выражении:

$16^{-3} \cdot 16^0 \cdot \frac{1}{64} \cdot (2^{-7})^{-8} = 4^{-6} \cdot 4^0 \cdot 4^{-3} \cdot 4^{28}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$4^{-6} \cdot 4^0 \cdot 4^{-3} \cdot 4^{28} = 4^{-6 + 0 + (-3) + 28} = 4^{-9 + 28} = 4^{19}$.

Ответ: $4^{19}$