Номер 1.164, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.164*. Найдите произведение чисел $a$ и $b$, если

$a = 2^8 \cdot (5^{-2})^{-2} \cdot \frac{1}{7^{-2}}$ и $b = 2^{-7} \cdot 5^{-5} \cdot 7^{-1}$.

Найдите произведение чисел a и b, если $a = 2^8 \cdot (5^{-2})^{-2} \cdot \frac{1}{7^{-2}}$ и $b = 2^{-7} \cdot 5^{-5} \cdot 7^{-1}$

Для нахождения произведения $a \cdot b$ необходимо сначала упростить выражение для числа $a$, а затем перемножить его с $b$.

1. Упрощение выражения для $a$:
Используем свойства степеней: возведение степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и свойство отрицательной степени $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.
$a = 2^8 \cdot (5^{-2})^{-2} \cdot \frac{1}{7^{-2}} = 2^8 \cdot 5^{(-2) \cdot (-2)} \cdot 7^2 = 2^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2$.

2. Нахождение произведения $a \cdot b$:
Теперь умножим упрощенное выражение для $a$ на данное выражение для $b$:
$a \cdot b = (2^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2) \cdot (2^{-7} \cdot 5^{-5} \cdot 7^{-1})$.

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a \cdot b = (2^8 \cdot 2^{-7}) \cdot (5^4 \cdot 5^{-5}) \cdot (7^2 \cdot 7^{-1})$
$a \cdot b = 2^{8-7} \cdot 5^{4-5} \cdot 7^{2-1}$
$a \cdot b = 2^1 \cdot 5^{-1} \cdot 7^1 = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot 7 = \frac{14}{5}$.

3. Выделение целой части:
Представим полученную неправильную дробь $\frac{14}{5}$ в виде смешанного числа:
$\frac{14}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{10}{5} + \frac{4}{5} = 2\frac{4}{5}$.

Ответ: $2\frac{4}{5}$.