Номер 1.161, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.161. Вычислите:

а) $\frac{2^{-2} \cdot 3^{4} \cdot 6^{-5}}{2^{-4} \cdot 3^{3} \cdot 6^{-4}};$

б) $\frac{7,1 \cdot 10^{3} \cdot 3 \cdot 10^{-7}}{10^{-6}}.$

а) Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством степеней при делении: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

Исходное выражение:

$$ \frac{2^{-2} \cdot 3^4 \cdot 6^{-5}}{2^{-4} \cdot 3^3 \cdot 6^{-4}} $$

Применим свойство деления для каждой степени с одинаковым основанием:

$$ \frac{2^{-2}}{2^{-4}} \cdot \frac{3^4}{3^3} \cdot \frac{6^{-5}}{6^{-4}} = 2^{-2 - (-4)} \cdot 3^{4 - 3} \cdot 6^{-5 - (-4)} $$

Выполним действия с показателями степеней:

$$ 2^{-2 + 4} \cdot 3^{1} \cdot 6^{-5 + 4} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 6^{-1} $$

Теперь вычислим результат, помня, что $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$$ 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} = 12 \cdot \frac{1}{6} = \frac{12}{6} $$

В результате получили неправильную дробь, которая при делении дает целое число:

$$ \frac{12}{6} = 2 $$

Ответ: 2

б) Для вычисления значения выражения воспользуемся свойствами степеней при умножении $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и делении $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

Исходное выражение:

$$ \frac{7,1 \cdot 10^3 \cdot 3 \cdot 10^{-7}}{10^{-6}} $$

Сначала выполним умножение в числителе, сгруппировав числовые коэффициенты и степени с основанием 10:

$$ (7,1 \cdot 3) \cdot (10^3 \cdot 10^{-7}) = 21,3 \cdot 10^{3 + (-7)} = 21,3 \cdot 10^{-4} $$

Теперь выражение имеет вид:

$$ \frac{21,3 \cdot 10^{-4}}{10^{-6}} $$

Применим свойство деления степеней:

$$ 21,3 \cdot 10^{-4 - (-6)} = 21,3 \cdot 10^{-4 + 6} = 21,3 \cdot 10^2 $$

Вычислим конечное значение:

$$ 21,3 \cdot 100 = 2130 $$

Ответ: 2130