Номер 1.154, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.154. Найдите значение выражения:

а) $(-2)^{-12} : 4^{-6};$

б) $(16 \cdot 2^{-3})^2;$

в) $(-3\frac{1}{6})^{-5} \cdot (\frac{6}{19})^{-4};$

г) $(-10^{-3})^{-2} : 0,1^{-3};$

д) $(-1\frac{7}{9})^{-8} \cdot ((0,75)^{-3})^5;$

е) $125^{-3} : ((- \frac{1}{5})^{-4})^{-2};$

ж) $\frac{7^{-7} \cdot (-49^{-4})}{7^{-13}};$

з) $\frac{(-6)^{-4}}{2^{-3} \cdot 3^{-4}}.$

а) Найдем значение выражения $(-2)^{-12} : 4^{-6}$.

Так как показатель степени $-12$ является четным числом, знак минус у основания можно убрать: $(-2)^{-12} = 2^{-12}$.

Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^{-6} = (2^2)^{-6}$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Следовательно, $(2^2)^{-6} = 2^{2 \cdot (-6)} = 2^{-12}$.

Теперь выражение имеет вид: $2^{-12} : 2^{-12}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^{-12} : 2^{-12} = 2^{-12 - (-12)} = 2^{-12+12} = 2^0 = 1$.

Ответ: 1.

б) Найдем значение выражения $(16 \cdot 2^{-3})^2$.

Представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$.

Выполним действие в скобках. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$16 \cdot 2^{-3} = 2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4+(-3)} = 2^1 = 2$.

Теперь возведем результат в квадрат: $(2)^2 = 4$.

Ответ: 4.

в) Найдем значение выражения $(-3\frac{1}{6})^{-5} \cdot (\frac{6}{19})^{-4}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $-3\frac{1}{6} = -\frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = -\frac{19}{6}$.

Выражение примет вид: $(-\frac{19}{6})^{-5} \cdot (\frac{6}{19})^{-4}$.

Так как показатель степени $-5$ нечетный, знак минус сохраняется: $(-\frac{19}{6})^{-5} = -(\frac{19}{6})^{-5}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$.

$-(\frac{19}{6})^{-5} = -(\frac{6}{19})^5$. А $(\frac{6}{19})^{-4} = (\frac{19}{6})^4$.

Другой способ: воспользуемся свойством $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$ для второго множителя $(\frac{6}{19})^{-4} = (\frac{19}{6})^4$. Выражение станет: $(-\frac{19}{6})^{-5} \cdot (\frac{19}{6})^4$.

Так как основание в первой части отрицательное, а степень нечетная: $-((\frac{19}{6})^{-5} \cdot (\frac{19}{6})^4) = -(\frac{19}{6})^{-5+4} = -(\frac{19}{6})^{-1}$.

Используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем: $-(\frac{19}{6})^{-1} = -(\frac{6}{19}) = -\frac{6}{19}$.

Ответ: $-\frac{6}{19}$.

г) Найдем значение выражения $(-10^{-3})^{-2} : 0,1^{-3}$.

Рассмотрим первый член $(-10^{-3})^{-2}$. Так как внешняя степень $-2$ четная, знак минус исчезает: $(10^{-3})^{-2}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $10^{(-3) \cdot (-2)} = 10^6$.

Рассмотрим второй член $0,1^{-3}$. Представим $0,1$ как $10^{-1}$. Тогда $0,1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^{(-1) \cdot (-3)} = 10^3$.

Выполним деление: $10^6 : 10^3 = 10^{6-3} = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000.

д) Найдем значение выражения $(-1\frac{7}{9})^{-8} \cdot ((0,75)^{-3})^5$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{7}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = -\frac{16}{9}$.

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Выражение примет вид: $(-\frac{16}{9})^{-8} \cdot ((\frac{3}{4})^{-3})^5$.

Так как показатель степени $-8$ четный, знак минус у основания убираем: $(-\frac{16}{9})^{-8} = (\frac{16}{9})^{-8}$.

Упростим второй множитель: $((\frac{3}{4})^{-3})^5 = (\frac{3}{4})^{-3 \cdot 5} = (\frac{3}{4})^{-15}$.

Заметим, что $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$. Тогда $(\frac{16}{9})^{-8} = ((\frac{4}{3})^2)^{-8} = (\frac{4}{3})^{-16}$.

Также, $(\frac{3}{4})^{-15} = ((\frac{4}{3})^{-1})^{-15} = (\frac{4}{3})^{15}$.

Получаем: $(\frac{4}{3})^{-16} \cdot (\frac{4}{3})^{15} = (\frac{4}{3})^{-16+15} = (\frac{4}{3})^{-1} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

е) Найдем значение выражения $125^{-3} : ((-\frac{1}{5})^{-4})^{-2}$.

Представим $125$ как $5^3$: $125^{-3} = (5^3)^{-3} = 5^{-9}$.

Рассмотрим делитель: $((-\frac{1}{5})^{-4})^{-2}$. Внутренняя степень $-4$ четная, поэтому знак минус убирается: $((-\frac{1}{5})^{-4})^{-2} = ((\frac{1}{5})^{-4})^{-2}$.

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $(\frac{1}{5})^{-4} = (5^{-1})^{-4} = 5^4$.

Тогда делитель равен $(5^4)^{-2} = 5^{4 \cdot (-2)} = 5^{-8}$.

Выполним деление: $5^{-9} : 5^{-8} = 5^{-9 - (-8)} = 5^{-9+8} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

ж) Найдем значение выражения $\frac{7^{-7} \cdot (-49^{-4})}{7^{-13}}$.

Упростим числитель. Скобки в $(-49^{-4})$ указывают, что мы умножаем на отрицательное число. Степень $-4$ относится к $49$.

Представим $49$ как $7^2$: $-49^{-4} = -(7^2)^{-4} = -7^{-8}$.

Числитель равен $7^{-7} \cdot (-7^{-8}) = - (7^{-7} \cdot 7^{-8}) = -7^{-7-8} = -7^{-15}$.

Теперь вся дробь: $\frac{-7^{-15}}{7^{-13}} = -7^{-15 - (-13)} = -7^{-15+13} = -7^{-2}$.

$-7^{-2} = -\frac{1}{7^2} = -\frac{1}{49}$.

Ответ: $-\frac{1}{49}$.

з) Найдем значение выражения $\frac{(-6)^{-4}}{2^{-3} \cdot 3^{-4}}$.

В числителе степень $-4$ четная, поэтому $(-6)^{-4} = 6^{-4}$.

Представим $6$ как произведение $2 \cdot 3$: $6^{-4} = (2 \cdot 3)^{-4} = 2^{-4} \cdot 3^{-4}$.

Подставим в дробь: $\frac{2^{-4} \cdot 3^{-4}}{2^{-3} \cdot 3^{-4}}$.

Сократим $3^{-4}$ в числителе и знаменателе.

Остается $\frac{2^{-4}}{2^{-3}} = 2^{-4 - (-3)} = 2^{-4+3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.