Номер 1.156, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.156. Найдите значение выражения $\frac{m^{-38}}{m^{-12}(m^{-6})^4}$ при $m = -\frac{1}{3}$.

Чтобы найти значение выражения $\frac{m^{-38}}{m^{-12}(m^{-6})^4}$ при $m = -\frac{1}{3}$, сначала упростим его, используя свойства степеней.

1. Упрощение знаменателя.

В знаменателе находится произведение $m^{-12}(m^{-6})^4$. Сначала возведем степень в степень. По свойству $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ имеем:

$(m^{-6})^4 = m^{-6 \cdot 4} = m^{-24}$

Теперь знаменатель принимает вид $m^{-12} \cdot m^{-24}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по свойству $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:

$m^{-12} \cdot m^{-24} = m^{-12 + (-24)} = m^{-36}$

2. Упрощение всей дроби.

После упрощения знаменателя исходное выражение выглядит так:

$\frac{m^{-38}}{m^{-36}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по свойству $\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}$:

$\frac{m^{-38}}{m^{-36}} = m^{-38 - (-36)} = m^{-38 + 36} = m^{-2}$

3. Вычисление значения.

Теперь подставим значение $m = -\frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $m^{-2}$:

$(-\frac{1}{3})^{-2}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1^2}{3^2}} = \frac{1}{\frac{1}{9}}$

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно умножить 1 на дробь, обратную делителю:

$1 \cdot \frac{9}{1} = 9$

Ответ: 9.