Номер 1.52, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.52. Представьте выражение:

а) $\frac{2^8 \cdot 3^6}{6^6}$ в виде степени с основанием 4;

б) $\frac{7^7 \cdot 2^5}{14^5}$ в виде степени с основанием 7.

а) Представьте выражение $ \frac{2^8 \cdot 3^6}{6^6} $ в виде степени с основанием 4.

Решение:
1. Разложим основание степени в знаменателе на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $.
Используя свойство степени произведения $ (ab)^n = a^n b^n $, получим: $ 6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6 $.

2. Подставим полученное выражение в исходную дробь: $ \frac{2^8 \cdot 3^6}{6^6} = \frac{2^8 \cdot 3^6}{2^6 \cdot 3^6} $.

3. Упростим выражение, используя свойство частного степеней с одинаковыми основаниями $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{2^8}{2^6} \cdot \frac{3^6}{3^6} = 2^{8-6} \cdot 3^{6-6} = 2^2 \cdot 3^0 $.

4. Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($ a^0 = 1 $), выражение принимает вид: $ 2^2 \cdot 1 = 2^2 $.

5. Нам нужно представить результат в виде степени с основанием 4. Так как $ 4 = 2^2 $, то: $ 2^2 = 4^1 $.

Ответ: $ 4^1 $.

б) Представьте выражение $ \frac{7^7 \cdot 2^5}{14^5} $ в виде степени с основанием 7.

Решение:
1. Разложим основание степени в знаменателе на простые множители: $ 14 = 7 \cdot 2 $.
Используя свойство степени произведения $ (ab)^n = a^n b^n $, получим: $ 14^5 = (7 \cdot 2)^5 = 7^5 \cdot 2^5 $.

2. Подставим полученное выражение в исходную дробь: $ \frac{7^7 \cdot 2^5}{14^5} = \frac{7^7 \cdot 2^5}{7^5 \cdot 2^5} $.

3. Упростим выражение, используя свойство частного степеней с одинаковыми основаниями $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{7^7}{7^5} \cdot \frac{2^5}{2^5} = 7^{7-5} \cdot 2^{5-5} = 7^2 \cdot 2^0 $.

4. Поскольку $ 2^0 = 1 $, выражение принимает вид: $ 7^2 \cdot 1 = 7^2 $.

Результат уже представлен в виде степени с основанием 7.

Ответ: $ 7^2 $.