Номер 1.58, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.58*. Докажите, что значение выражения $9^{15} - 3^{28}$ кратно 24.

Для того чтобы доказать, что значение выражения кратно 24, необходимо преобразовать его и показать, что оно делится на 24 без остатка.

1. Приведем степени в выражении к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем $9^{15}$:

$9^{15} = (3^2)^{15} = 3^{2 \cdot 15} = 3^{30}$

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$9^{15} - 3^{28} = 3^{30} - 3^{28}$

3. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{28}$:

$3^{30} - 3^{28} = 3^{28} \cdot 3^2 - 3^{28} \cdot 1 = 3^{28}(3^2 - 1)$

4. Упростим выражение в скобках:

$3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

Таким образом, исходное выражение равно:

$3^{28} \cdot 8$

5. Чтобы доказать, что полученное выражение $3^{28} \cdot 8$ кратно 24, достаточно показать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \cdot 8$ и числа 3 и 8 взаимно просты.

• Выражение $3^{28} \cdot 8$ содержит множитель 8, следовательно, оно делится на 8.
• Выражение $3^{28} \cdot 8$ содержит множитель $3^{28}$, следовательно, оно делится на 3.

Поскольку выражение делится одновременно и на 3, и на 8, оно делится и на их произведение, то есть на 24. Что и требовалось доказать.

Можно также найти частное от деления, чтобы убедиться, что оно является целым числом:

$\frac{9^{15} - 3^{28}}{24} = \frac{3^{28} \cdot 8}{24} = \frac{3^{28} \cdot 8}{3 \cdot 8} = 3^{27}$

Результат $3^{27}$ является целым числом, что подтверждает кратность.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $9^{15} - 3^{28}$ преобразуется к виду $3^{28} \cdot 8$, которое делится на $3$ и на $8$, а значит, и на $24$.