Номер 1.65, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.65. Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

а) $5^2$ и $-5^2$;

б) $5^2$ и $(-5)^2$;

в) $-5^2$ и $(-5)^2$;

г) $2^3$ и $-2^3$;

д) $(-2)^3$ и $2^3$;

е) $-2^3$ и $(-2)^3$.

Для сравнения значений выражений будем использовать правила возведения в степень положительных и отрицательных чисел, не прибегая к конечным вычислениям.

а) $5^2$ и $-5^2$

Выражение $5^2$ является положительным числом, так как любое положительное число в любой степени остается положительным. Выражение $-5^2$ следует понимать как $-(5^2)$. Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус. Таким образом, $-5^2$ — это отрицательное число. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.

Ответ: $5^2 > -5^2$

б) $5^2$ и $(-5)^2$

Выражение $5^2$ — это положительное число. Выражение $(-5)^2$ означает произведение $(-5) \times (-5)$. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат всегда будет положительным. Поскольку основания степеней равны по модулю ($|5| = |-5|$), а показатель степени (2) — четное число, значения выражений будут равны.

Ответ: $5^2 = (-5)^2$

в) $-5^2$ и $(-5)^2$

Как было показано в пункте а), $-5^2$ является отрицательным числом. Как было показано в пункте б), $(-5)^2$ является положительным числом. Отрицательное число всегда меньше положительного.

Ответ: $-5^2 < (-5)^2$

г) $2^3$ и $-2^3$

Выражение $2^3$ является положительным числом. Выражение $-2^3$ означает $-(2^3)$, что является отрицательным числом. Положительное число всегда больше отрицательного.

Ответ: $2^3 > -2^3$

д) $(-2)^3$ и $2^3$

Выражение $(-2)^3$ означает произведение $(-2) \times (-2) \times (-2)$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат всегда будет отрицательным. Выражение $2^3$ — положительное число. Следовательно, отрицательное значение $(-2)^3$ меньше положительного значения $2^3$.

Ответ: $(-2)^3 < 2^3$

е) $-2^3$ и $(-2)^3$

Выражение $-2^3$ — это отрицательное число $-(2 \times 2 \times 2)$. Выражение $(-2)^3$ также является отрицательным, так как отрицательное число возводится в нечетную степень. В данном случае, $(-2)^3 = -(2^3)$. Таким образом, значения этих двух выражений равны.

Ответ: $-2^3 = (-2)^3$