Номер 1.59, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.59*. Докажите, что значение выражения $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном значении $n$.

1.59*. Докажите, что значение выражения $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном значении n.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, чтобы вынести за скобки общий множитель.

Исходное выражение:

Представим каждый член суммы с основанием 2 через множитель $2^n$:

Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки:

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

В результате преобразования получаем:

Чтобы доказать, что это выражение кратно 14, нужно показать, что оно делится на 14 без остатка. Так как $14 = 2 \cdot 7$, нам необходимо убедиться, что в нашем выражении присутствуют множители 2 и 7.

Выражение $7 \cdot 2^n$ очевидно содержит множитель 7.По условию задачи, $n$ — любое натуральное число, то есть $n \ge 1$. Это значит, что множитель $2^n$ всегда будет содержать как минимум один множитель 2 (при $n=1$, $2^1=2$).

Следовательно, мы можем представить выражение в следующем виде:

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n-1$ является целым неотрицательным числом ($0, 1, 2, ...$), а значит, $2^{n-1}$ всегда будет целым числом. Из этого следует, что выражение $14 \cdot 2^{n-1}$ всегда делится на 14 нацело.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном значении n.

Ответ: Утверждение доказано. Исходное выражение преобразуется к виду $14 \cdot 2^{n-1}$. Так как при любом натуральном $n$ множитель $2^{n-1}$ является целым числом, то все выражение кратно 14.