Номер 1.56, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.56. Найдите значение выражения $ \frac{49 \cdot 10^6}{25^3 \cdot 14^2} $

1.56. Найдите значение выражения $\frac{49 \cdot 10^6}{25^3 \cdot 14^2}$

Для нахождения значения выражения, необходимо упростить его, используя свойства степеней и разложение чисел на простые множители.

1. Представим числа в числителе и знаменателе в виде степеней простых чисел:

• $49 = 7^2$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $25 = 5^2$
• $14 = 2 \cdot 7$

2. Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{49 \cdot 10^6}{25^3 \cdot 14^2} = \frac{7^2 \cdot (2 \cdot 5)^6}{(5^2)^3 \cdot (2 \cdot 7)^2}$

3. Теперь применим свойства степеней: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}{5^{2 \cdot 3} \cdot 2^2 \cdot 7^2} = \frac{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}{5^6 \cdot 2^2 \cdot 7^2}$

4. Сократим дробь, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{7^2}{7^2} \cdot \frac{5^6}{5^6} \cdot \frac{2^6}{2^2}$

Выполним вычисления:

$7^{2-2} \cdot 5^{6-6} \cdot 2^{6-2} = 7^0 \cdot 5^0 \cdot 2^4$

5. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), получаем:

$1 \cdot 1 \cdot 2^4 = 2^4$

6. Вычислим конечный результат:

$2^4 = 16$

Ответ: 16