Номер 1.53, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.53. Представьте выражение в виде степени с основанием, равным натуральному числу:

а) $3^m \cdot 9$;

б) $3^m : 3$;

в) $(7^n)^2 \cdot 7$;

г) $(3^n)^3 : 3^{2n}$.

Для решения задачи необходимо использовать свойства степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
• При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^x : a^y = a^{x-y}$
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^x)^y = a^{xy}$

а) $3^m \cdot 9$

Чтобы привести выражение к степени с одним основанием, представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$9 = 3^2$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$3^m \cdot 3^2$

Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием, сложим их показатели:

$3^m \cdot 3^2 = 3^{m+2}$

Ответ: $3^{m+2}$

б) $3^m : 3$

Представим число 3 в виде степени: $3 = 3^1$.

Выражение принимает вид:

$3^m : 3^1$

Согласно свойству деления степеней с одинаковым основанием, вычтем их показатели:

$3^m : 3^1 = 3^{m-1}$

Ответ: $3^{m-1}$

в) $(7^n)^2 \cdot 7$

Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень для $(7^n)^2$:

$(7^n)^2 = 7^{n \cdot 2} = 7^{2n}$

Теперь выражение выглядит так:

$7^{2n} \cdot 7$

Представим 7 как $7^1$ и применим свойство умножения степеней:

$7^{2n} \cdot 7^1 = 7^{2n+1}$

Ответ: $7^{2n+1}$

г) $(3^n)^3 : 3^{2n}$

Упростим делимое $(3^n)^3$, используя свойство возведения степени в степень:

$(3^n)^3 = 3^{n \cdot 3} = 3^{3n}$

Теперь выражение выглядит так:

$3^{3n} : 3^{2n}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$3^{3n} : 3^{2n} = 3^{3n-2n} = 3^n$

Ответ: $3^n$