Номер 1.46, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.46. Найдите значение выражения:

а) $\frac{100^4}{2^4 \cdot 5^4}$;

б) $\frac{6^5 \cdot 7^5}{21^5}$;

в) $\frac{(2^2)^3 \cdot 7^5}{14^5}.$

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{100^4}{2^4 \cdot 5^4}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратном порядке:
$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4$
Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{100^4}{10^4}$
Используем свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:
$(\frac{100}{10})^4 = 10^4 = 10000$

Ответ: 10000

б) Рассмотрим выражение $\frac{6^5 \cdot 7^5}{21^5}$.
Преобразуем числитель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$6^5 \cdot 7^5 = (6 \cdot 7)^5 = 42^5$
Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{42^5}{21^5}$
Применим свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:
$(\frac{42}{21})^5 = 2^5 = 32$

Ответ: 32

в) Найдем значение выражения $\frac{(2^2)^3 \cdot 7^5}{14^5}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$
Выражение принимает вид: $\frac{2^6 \cdot 7^5}{14^5}$
Теперь преобразуем знаменатель, представив 14 как произведение простых множителей: $14 = 2 \cdot 7$.
$14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5$
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{2^6 \cdot 7^5}{2^5 \cdot 7^5}$
Сократим дробь на $7^5$:
$\frac{2^6}{2^5}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{6-5} = 2^1 = 2$

Ответ: 2