Номер 1.41, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^{16}}{8^{10}}$, приведем основания степеней 4 и 8 к общему основанию 2.
Поскольку $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$, мы можем переписать выражение:

$\frac{4^{16}}{8^{10}} = \frac{(2^2)^{16}}{(2^3)^{10}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^{2 \cdot 16}}{2^{3 \cdot 10}} = \frac{2^{32}}{2^{30}}$

Далее, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{32-30} = 2^2 = 4$

Ответ: 4

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{25^{11}}{125^7}$, приведем основания 25 и 125 к общему основанию 5.
Так как $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$, подставляем в выражение:

$\frac{25^{11}}{125^7} = \frac{(5^2)^{11}}{(5^3)^7} = \frac{5^{2 \cdot 11}}{5^{3 \cdot 7}} = \frac{5^{22}}{5^{21}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$5^{22-21} = 5^1 = 5$

Ответ: 5

в) Рассмотрим выражение $\frac{3^{14} \cdot (3^4)^2}{3^{20}}$.
Сначала упростим числитель. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, имеем $(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.
Выражение принимает вид:

$\frac{3^{14} \cdot 3^8}{3^{20}}$

По свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{3^{14+8}}{3^{20}} = \frac{3^{22}}{3^{20}}$

Выполним деление:

$3^{22-20} = 3^2 = 9$

Ответ: 9

г) В выражении $\frac{125^7}{5^9 \cdot 25^5}$ приведем все основания к 5.
$125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

$\frac{(5^3)^7}{5^9 \cdot (5^2)^5} = \frac{5^{21}}{5^9 \cdot 5^{10}}$

Упростим знаменатель, сложив показатели степеней:

$\frac{5^{21}}{5^{9+10}} = \frac{5^{21}}{5^{19}}$

Выполним деление, вычитая показатели:

$5^{21-19} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

д) В выражении $\frac{27^5}{9^2 \cdot 81^2}$ приведем все основания к 3.
$27 = 3^3$, $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.

$\frac{(3^3)^5}{(3^2)^2 \cdot (3^4)^2} = \frac{3^{15}}{3^4 \cdot 3^8} = \frac{3^{15}}{3^{4+8}} = \frac{3^{15}}{3^{12}}$

Выполним деление:

$3^{15-12} = 3^3 = 27$

Ответ: 27

е) В выражении $\frac{64^2 \cdot 32^5}{16^3 \cdot 8^8}$ приведем все основания к 2.
$64=2^6$, $32=2^5$, $16=2^4$ и $8=2^3$.

$\frac{(2^6)^2 \cdot (2^5)^5}{(2^4)^3 \cdot (2^3)^8} = \frac{2^{12} \cdot 2^{25}}{2^{12} \cdot 2^{24}}$

Сложим показатели в числителе и знаменателе:

$\frac{2^{12+25}}{2^{12+24}} = \frac{2^{37}}{2^{36}}$

Выполним деление:

$2^{37-36} = 2^1 = 2$

Ответ: 2