Номер 1.37, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.37. Сравните значения степеней, представив их в виде степеней с одинаковыми основаниями:

а) $9^6$ и $27^2$;

б) $8^{10}$ и $4^{15}$;

в) $0,01^3$ и $0,001^2$.

Для сравнения значений степеней необходимо привести их к одинаковому основанию. Затем, если основание больше 1, большей будет та степень, у которой показатель больше. Если основание от 0 до 1, то большей будет та степень, у которой показатель меньше.

а) 9⁶ и 27²

Приведем степени к общему основанию 3, так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
$9^6 = (3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$
$27^2 = (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
Теперь сравним $3^{12}$ и $3^6$. Так как основание $3 > 1$ и показатель $12 > 6$, то $3^{12} > 3^6$.
Следовательно, $9^6 > 27^2$.
Ответ: $9^6 > 27^2$.

б) 8¹⁰ и 4¹⁵

Приведем степени к общему основанию 2, так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
$8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{3 \cdot 10} = 2^{30}$
$4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{2 \cdot 15} = 2^{30}$
Сравниваем $2^{30}$ и $2^{30}$. Значения равны.
Следовательно, $8^{10} = 4^{15}$.
Ответ: $8^{10} = 4^{15}$.

в) 0,01³ и 0,001²

Приведем степени к общему основанию 0,1, так как $0,01 = (0,1)^2$ и $0,001 = (0,1)^3$.
$0,01^3 = ((0,1)^2)^3 = (0,1)^{2 \cdot 3} = (0,1)^6$
$0,001^2 = ((0,1)^3)^2 = (0,1)^{3 \cdot 2} = (0,1)^6$
Сравниваем $(0,1)^6$ и $(0,1)^6$. Значения равны.
Следовательно, $0,01^3 = 0,001^2$.
Ответ: $0,01^3 = 0,001^2$.