Номер 1.40, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.40. Упростите выражение:

а) $ \frac{b^4(b^3)^7}{b^{12}} $;

б) $ \frac{b^{14}b^9}{(b^2)^3} $;

В) $ \frac{(b^{10} : b^4)^2 \cdot b^7}{(b^6)^3} $.

Для упрощения данных выражений мы будем использовать следующие свойства степеней:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Частное степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

а) $\frac{b^4 (b^3)^7}{b^{12}}$

1. Сначала упростим выражение в числителе. Возведем степень в степень: $(b^3)^7 = b^{3 \cdot 7} = b^{21}$.
2. Теперь числитель имеет вид $b^4 \cdot b^{21}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $b^{4+21} = b^{25}$.
3. В результате все выражение принимает вид дроби: $\frac{b^{25}}{b^{12}}$.
4. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $b^{25-12} = b^{13}$.

$\frac{b^4 (b^3)^7}{b^{12}} = \frac{b^4 \cdot b^{3 \cdot 7}}{b^{12}} = \frac{b^4 \cdot b^{21}}{b^{12}} = \frac{b^{4+21}}{b^{12}} = \frac{b^{25}}{b^{12}} = b^{25-12} = b^{13}$.
Ответ: $b^{13}$.

б) $\frac{b^{14}b^9}{(b^2)^3}$

1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней: $b^{14} \cdot b^9 = b^{14+9} = b^{23}$.
2. Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень: $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.
3. Теперь выражение выглядит так: $\frac{b^{23}}{b^6}$.
4. Выполним деление, вычитая показатели степеней: $b^{23-6} = b^{17}$.

$\frac{b^{14}b^9}{(b^2)^3} = \frac{b^{14+9}}{b^{2 \cdot 3}} = \frac{b^{23}}{b^6} = b^{23-6} = b^{17}$.
Ответ: $b^{17}$.

в) $\frac{(b^{10} : b^4)^2 \cdot b^7}{(b^6)^3}$

1. Начнем с числителя. Выполним деление в скобках: $b^{10} : b^4 = b^{10-4} = b^6$.
2. Теперь числитель равен $(b^6)^2 \cdot b^7$. Возведем в степень: $(b^6)^2 = b^{6 \cdot 2} = b^{12}$.
3. Перемножим оставшиеся степени в числителе: $b^{12} \cdot b^7 = b^{12+7} = b^{19}$.
4. Теперь упростим знаменатель: $(b^6)^3 = b^{6 \cdot 3} = b^{18}$.
5. Все выражение свелось к дроби $\frac{b^{19}}{b^{18}}$.
6. Выполним деление: $b^{19-18} = b^1 = b$.

$\frac{(b^{10} : b^4)^2 \cdot b^7}{(b^6)^3} = \frac{(b^{10-4})^2 \cdot b^7}{b^{6 \cdot 3}} = \frac{(b^6)^2 \cdot b^7}{b^{18}} = \frac{b^{6 \cdot 2} \cdot b^7}{b^{18}} = \frac{b^{12} \cdot b^7}{b^{18}} = \frac{b^{12+7}}{b^{18}} = \frac{b^{19}}{b^{18}} = b^{19-18} = b$.
Ответ: $b$.