Номер 1.43, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.43. Прочитайте выражение и представьте степень в виде частного степеней:

а) $ (\frac{3}{7})^6 $;

б) $ (1\frac{1}{3})^7 $;

в) $ (5 : 2)^8 $;

г) $ (a : b)^5 $.

а) Выражение $(\frac{3}{7})^6$ читается как "три седьмых в шестой степени". Чтобы представить степень дроби в виде частного степеней, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Используем свойство степени частного: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Применив это свойство, получаем: $(\frac{3}{7})^6 = \frac{3^6}{7^6}$.
Это правильная дробь, так как числитель ($3^6=729$) меньше знаменателя ($7^6=117649$), поэтому выделить целую часть нельзя.
Ответ: $\frac{3^6}{7^6}$

б) Выражение $(1\frac{1}{3})^7$ читается как "одна целая одна третья в седьмой степени". Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Теперь применим свойство степени частного: $(\frac{4}{3})^7 = \frac{4^7}{3^7}$.
Это неправильная дробь, так как основание степени ($4/3$) больше единицы. Вычислим значения в числителе и знаменателе: $4^7=16384$ и $3^7=2187$.
Выделим целую часть из дроби $\frac{16384}{2187}$: $16384 \div 2187 = 7$ (остаток $1075$). Таким образом, $\frac{16384}{2187} = \mathbf{7}\frac{1075}{2187}$.
Ответ: $\frac{4^7}{3^7} = \mathbf{7}\frac{1075}{2187}$

в) Выражение $(5:2)^8$ читается как "частное пяти и двух в восьмой степени". Представим частное в виде дроби $\frac{5}{2}$ и применим свойство степени: $(\frac{5}{2})^8 = \frac{5^8}{2^8}$.
Это неправильная дробь. Вычислим значения: $5^8=390625$ и $2^8=256$.
Выделим целую часть из дроби $\frac{390625}{256}$: $390625 \div 256 = 1525$ (остаток $225$). Таким образом, $\frac{390625}{256} = \mathbf{1525}\frac{225}{256}$.
Ответ: $\frac{5^8}{2^8} = \mathbf{1525}\frac{225}{256}$

г) Выражение $(a:b)^5$ читается как "частное чисел a и b в пятой степени". Представим частное в виде дроби $\frac{a}{b}$ и возведем в степень: $(\frac{a}{b})^5 = \frac{a^5}{b^5}$.
Поскольку $a$ и $b$ являются переменными, определить, является ли дробь правильной или неправильной, и, соответственно, выделить целую часть, невозможно без дополнительной информации о значениях $a$ и $b$.
Ответ: $\frac{a^5}{b^5}$