Номер 1.42, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.42*. Сравните числа $99^{10}$ и $10^{20}$.

1.42*. Сравните числа $99^{10}$ и $10^{20}$

Чтобы сравнить два числа, можно рассмотреть их отношение. Сравним отношение $\frac{10^{20}}{99^{10}}$ с единицей. Если это отношение больше 1, то числитель ($10^{20}$) больше знаменателя ($99^{10}$); если меньше 1, то числитель меньше знаменателя.

Преобразуем выражение, приведя степени к общему показателю. Для этого представим $10^{20}$ как $(10^2)^{10}$:

$$ \frac{10^{20}}{99^{10}} = \frac{(10^2)^{10}}{99^{10}} = \frac{100^{10}}{99^{10}} $$

Используя свойство частного степеней с одинаковыми показателями $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:

$$ \frac{100^{10}}{99^{10}} = \left(\frac{100}{99}\right)^{10} $$

Дробь $\frac{100}{99}$ является неправильной. Представим ее в виде суммы целой и дробной частей, то есть выделим целую часть:

$$ \frac{100}{99} = 1 + \frac{1}{99} $$

Теперь наше выражение для сравнения выглядит так:

$$ \left(1 + \frac{1}{99}\right)^{10} $$

Поскольку основание степени $1 + \frac{1}{99}$ больше единицы ($1 + \frac{1}{99} > 1$), то при возведении его в положительную степень ($10$) результат также будет больше единицы:

$$ \left(1 + \frac{1}{99}\right)^{10} > 1 $$

Это означает, что исходное отношение больше единицы:

$$ \frac{10^{20}}{99^{10}} > 1 $$

Умножив обе части неравенства на положительное число $99^{10}$, получим:

$$ 10^{20} > 99^{10} $$

Таким образом, число $99^{10}$ меньше числа $10^{20}$.

Ответ: $99^{10} < 10^{20}$.