Номер 1.44, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.44. Какое свойство нужно использовать для записи частного степеней в виде степени? Запишите частное степеней в виде степени:

а) $ \frac{2^6}{7^6}; $

б) $ \frac{3^4}{10^4}; $

в) $ \frac{a^3}{4^3}; $

г) $ \frac{(3b)^6}{(2a)^6}. $

Для записи частного степеней в виде степени необходимо использовать свойство частного степеней с одинаковыми показателями. Это свойство формулируется следующим образом: чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить их основания, а показатель степени оставить прежним.

В виде формулы это свойство записывается так:

$$ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \quad (при \ b \neq 0) $$

Применим это свойство для решения каждого подпункта.

а) Дано выражение $ \frac{2^6}{7^6} $.
Здесь основания равны 2 и 7, а показатель степени у обоих чисел равен 6. Применяем свойство частного степеней:
$$ \frac{2^6}{7^6} = \left(\frac{2}{7}\right)^6 $$ Дробь $ \frac{2}{7} $ является правильной, поэтому целую часть выделить нельзя.
Ответ: $ \left(\frac{2}{7}\right)^6 $

б) Дано выражение $ \frac{3^4}{10^4} $.
Основания равны 3 и 10, общий показатель степени — 4. По свойству частного степеней получаем:
$$ \frac{3^4}{10^4} = \left(\frac{3}{10}\right)^4 $$ Дробь $ \frac{3}{10} $ является правильной.
Ответ: $ \left(\frac{3}{10}\right)^4 $

в) Дано выражение $ \frac{a^3}{4^3} $.
Основаниями являются переменная $a$ и число 4, а общий показатель степени равен 3. Запишем в виде степени частного:
$$ \frac{a^3}{4^3} = \left(\frac{a}{4}\right)^3 $$ Ответ: $ \left(\frac{a}{4}\right)^3 $

г) Дано выражение $ \frac{(3b)^6}{(2a)^6} $.
Основаниями являются выражения $3b$ и $2a$, общий показатель степени равен 6. Применяем свойство:
$$ \frac{(3b)^6}{(2a)^6} = \left(\frac{3b}{2a}\right)^6 $$ В данном выражении дробь $ \frac{3b}{2a} $ является алгебраической. Мы можем выделить числовой коэффициент $ \frac{3}{2} $, который является неправильной дробью: $ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $. Однако, стандартная форма записи не предполагает выделение целой части внутри алгебраического выражения таким образом.
Ответ: $ \left(\frac{3b}{2a}\right)^6 $