Номер 1.34, страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.34. Сравните значения выражений:

а) $3^4 \cdot 3^2$ и $(3^4)^2$;

б) $4^3 \cdot 4^5$ и $(4^3)^5$.

a) $3^4 \cdot 3^2$ и $(3^4)^2$

Для сравнения значений этих выражений мы упростим каждое из них:

1. Упростим первое выражение $3^4 \cdot 3^2$.
   Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием, их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
   $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.
2. Упростим второе выражение $(3^4)^2$.
   Согласно свойству возведения степени в степень, их показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
   $(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.

Теперь сравним полученные результаты: $3^6$ и $3^8$.
Так как основание степени (3) больше 1, то больше то значение, у которого больше показатель степени. Поскольку $6 < 8$, то $3^6 < 3^8$.
Следовательно, $3^4 \cdot 3^2 < (3^4)^2$.

Ответ: $3^4 \cdot 3^2 < (3^4)^2$.

б) $4^3 \cdot 4^5$ и $(4^3)^5$

Действуем аналогично предыдущему пункту:

1. Упростим первое выражение $4^3 \cdot 4^5$.
   Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
   $4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8$.
2. Упростим второе выражение $(4^3)^5$.
   Используем правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
   $(4^3)^5 = 4^{3 \cdot 5} = 4^{15}$.

Сравним полученные результаты: $4^8$ и $4^{15}$.
Основание степени (4) больше 1, значит, чем больше показатель, тем больше значение степени. Так как $8 < 15$, то $4^8 < 4^{15}$.
Следовательно, $4^3 \cdot 4^5 < (4^3)^5$.

Ответ: $4^3 \cdot 4^5 < (4^3)^5$.