Номер 1.29, страница 14 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.29. Представьте степень $b^{12}$ в виде частного двух степеней с одинаковыми основаниями, одна из которых равна:

а) $b^{5}$;

б) $b^{15}$;

в) $b^{11}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство частного степеней с одинаковым основанием, которое гласит:

$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $

Нам нужно представить степень $b^{12}$ в виде частного двух степеней. Это значит, что для каждого подпункта мы должны найти вторую степень с основанием b, которая в частном с данной степенью даст в результате $b^{12}$.

а) Дана степень $b^5$. Нам нужно найти такую степень $b^x$, чтобы частное равнялось $b^{12}$. Удобнее всего представить данную степень в качестве знаменателя.

Пусть искомое частное имеет вид $ \frac{b^x}{b^5} $.

Согласно свойству частного степеней, $ \frac{b^x}{b^5} = b^{x-5} $.

Так как результат должен быть равен $b^{12}$, мы можем приравнять показатели степеней:

$ x - 5 = 12 $

Решая уравнение, находим $x$:

$ x = 12 + 5 = 17 $

Таким образом, вторая степень равна $b^{17}$, а искомое частное — $ \frac{b^{17}}{b^5} $.

Проверим: $ \frac{b^{17}}{b^5} = b^{17-5} = b^{12} $.

Ответ: $ \frac{b^{17}}{b^5} $.

б) Дана степень $b^{15}$. В этом случае удобнее представить данную степень в качестве числителя.

Пусть искомое частное имеет вид $ \frac{b^{15}}{b^y} $.

Согласно свойству частного степеней, $ \frac{b^{15}}{b^y} = b^{15-y} $.

Приравниваем показатели степеней к 12:

$ 15 - y = 12 $

Решая уравнение, находим $y$:

$ y = 15 - 12 = 3 $

Таким образом, вторая степень равна $b^3$, а искомое частное — $ \frac{b^{15}}{b^3} $.

Проверим: $ \frac{b^{15}}{b^3} = b^{15-3} = b^{12} $.

Ответ: $ \frac{b^{15}}{b^3} $.

в) Дана степень $b^{11}$. Как и в пункте а), представим данную степень в качестве знаменателя.

Пусть искомое частное имеет вид $ \frac{b^x}{b^{11}} $.

Согласно свойству частного степеней, $ \frac{b^x}{b^{11}} = b^{x-11} $.

Приравниваем показатели степеней к 12:

$ x - 11 = 12 $

Решая уравнение, находим $x$:

$ x = 12 + 11 = 23 $

Таким образом, вторая степень равна $b^{23}$, а искомое частное — $ \frac{b^{23}}{b^{11}} $.

Проверим: $ \frac{b^{23}}{b^{11}} = b^{23-11} = b^{12} $.

Ответ: $ \frac{b^{23}}{b^{11}} $.