Номер 1.71, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.71. Представьте двумя способами степень $a^8$ в виде произведения трех степеней с одинаковыми основаниями.

Для решения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^x \cdot a^y \cdot a^z = a^{x+y+z}$. Таким образом, задача сводится к нахождению двух различных наборов из трех чисел (показателей степени) $x, y, z$, сумма которых в каждом наборе равна 8. $$x + y + z = 8$$ Приведем два примера, используя дробные показатели, чтобы выполнить все условия задачи.

Способ 1

Представим число 8 в виде суммы трех одинаковых слагаемых. Для этого разделим 8 на 3. Каждый показатель степени будет равен $\frac{8}{3}$. $$ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{24}{3} = 8 $$ Следовательно, произведение степеней будет: $$ a^{8/3} \cdot a^{8/3} \cdot a^{8/3} = a^{\frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3}} = a^8 $$ Показатель степени $\frac{8}{3}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть: $$ \frac{8}{3} = \frac{6+2}{3} = 2\frac{2}{3} $$ Целая часть этой дроби равна 2.

Ответ: $a^{8/3} \cdot a^{8/3} \cdot a^{8/3}$. Целая часть показателя степени: 2.

Способ 2

Подберем другой набор из трех слагаемых, сумма которых также равна 8. Возьмем, например, два одинаковых слагаемых, равных $\frac{5}{2}$. Их сумма составляет: $$ \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ Чтобы общая сумма была равна 8, третье слагаемое должно быть равно $8 - 5 = 3$. Таким образом, мы получили набор показателей: $\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 3$. Произведение степеней будет выглядеть так: $$ a^{5/2} \cdot a^{5/2} \cdot a^3 = a^{\frac{5}{2} + \frac{5}{2} + 3} = a^{5+3} = a^8 $$ В этом представлении показатель степени $\frac{5}{2}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть: $$ \frac{5}{2} = \frac{4+1}{2} = 2\frac{1}{2} $$ Целая часть этой дроби равна 2.

Ответ: $a^{5/2} \cdot a^{5/2} \cdot a^3$. Целая часть показателя степени: 2.