Номер 1.77, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.77. Представьте в виде степени с основанием $5^2$ выражение:

а) $5^{10};$

б) $5^{22};$

в) $25^9;$

г) $625.$

а) $5^{10}$

Чтобы представить выражение $5^{10}$ в виде степени с основанием $5^2$, необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(5^2)^x = 5^{10}$.

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применив его к левой части равенства, получим:

$5^{2 \cdot x} = 5^{10}$

Поскольку основания степеней одинаковы (равны 5), мы можем приравнять их показатели:

$2x = 10$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, выражение $5^{10}$ можно записать как $(5^2)^5$.

Ответ: $(5^2)^5$.

б) $5^{22}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Ищем показатель $x$ для равенства $(5^2)^x = 5^{22}$.

Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{2x} = 5^{22}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 22$

$x = \frac{22}{2} = 11$

Следовательно, $5^{22}$ можно представить в виде $(5^2)^{11}$.

Ответ: $(5^2)^{11}$.

в) $25^9$

Для начала представим основание 25 как степень числа 5. Известно, что $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Теперь подставим $5^2$ вместо 25 в исходное выражение:

$25^9 = (5^2)^9$

Полученное выражение уже является степенью с основанием $5^2$ и показателем 9. Никаких дополнительных преобразований не требуется.

Ответ: $(5^2)^9$.

г) 625

Сначала представим число 625 в виде степени числа 5.

$625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Теперь нам нужно представить $5^4$ в виде степени с основанием $5^2$. Ищем такой показатель $x$, что $(5^2)^x = 5^4$.

Используя свойство степеней, получаем:

$5^{2x} = 5^4$

Приравниваем показатели:

$2x = 4$

$x = \frac{4}{2} = 2$

Значит, $625$ можно представить как $(5^2)^2$.

Ответ: $(5^2)^2$.