Номер 1.83, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.83. Представьте степень в виде частного степеней:

a) $\left(\frac{2}{9}\right)^5$;

б) $\left(\frac{m}{n}\right)^3$;

в) $(3 : 4)^{12}$;

г) $\left(2 \frac{2}{3}\right)^4$;

д) $(0,6)^3$;

е) $(c : d)^8$.

$a) {\left(\frac{2}{9}\right)}^5=\frac{2^5}{9^5}$

$б) {\left(\frac{m}{n}\right)}^3=\frac{m^3}{n^3}$

$в) {\left(3:4\right)}^{12}=3^{12}:4^{12}$

$г) {\left(2\frac{2}{3}\right)}^4={\left(\frac{2·3+2}{3}\right)}^4={\left(\frac{8}{3}\right)}^4=\frac{8^4}{3^4}$

$д) {\left(0,6\right)}^3=\left(\frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{10}}}}\right)={\left(\frac{3}{5}\right)}^3=\frac{3^3}{5^3}$

$е) {\left(c:d\right)}^8=c^8:d^8$

Для решения этой задачи используется свойство степени частного: чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель, и первый результат разделить на второй.
Формула выглядит так: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $

а) Представим степень $(\frac{2}{9})^5$ в виде частного степеней. Для этого возводим числитель 2 и знаменатель 9 в 5-ю степень.
$ (\frac{2}{9})^5 = \frac{2^5}{9^5} $
Вычислим значения степеней:
$ 2^5 = 32 $
$ 9^5 = 59049 $
Таким образом, получаем:
$ \frac{2^5}{9^5} = \frac{32}{59049} $
Ответ: $ \frac{32}{59049} $

б) Представим степень $(\frac{m}{n})^3$ в виде частного степеней. По аналогии с предыдущим примером, возводим числитель m и знаменатель n в 3-ю степень.
$ (\frac{m}{n})^3 = \frac{m^3}{n^3} $
Ответ: $ \frac{m^3}{n^3} $

в) Представим степень $(3 : 4)^{12}$ в виде частного степеней. Сначала запишем частное $3 : 4$ в виде дроби $\frac{3}{4}$.
$ (3 : 4)^{12} = (\frac{3}{4})^{12} $
Теперь возведем числитель 3 и знаменатель 4 в 12-ю степень.
$ (\frac{3}{4})^{12} = \frac{3^{12}}{4^{12}} $
Ответ: $ \frac{3^{12}}{4^{12}} $

г) Представим степень $(2\frac{2}{3})^4$ в виде частного степеней. Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь.
$ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} $
Теперь возведем полученную дробь в 4-ю степень.
$ (\frac{8}{3})^4 = \frac{8^4}{3^4} $
Вычислим значения:
$ 8^4 = 4096 $
$ 3^4 = 81 $
Получаем неправильную дробь $\frac{4096}{81}$. Выделим из нее целую часть, разделив числитель на знаменатель с остатком.
$ 4096 \div 81 = 50 $ (остаток $46$).
Значит, $ \frac{4096}{81} = 50\frac{46}{81} $.
Ответ: $50\frac{46}{81}$

д) Представим степень $(0,6)^3$ в виде частного степеней. Сначала преобразуем десятичную дробь $0,6$ в обыкновенную и сократим ее.
$ 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
Теперь возведем полученную дробь в 3-ю степень.
$ (\frac{3}{5})^3 = \frac{3^3}{5^3} $
Вычислим значения:
$ 3^3 = 27 $
$ 5^3 = 125 $
Получаем дробь $\frac{27}{125}$.
Ответ: $ \frac{27}{125} $

е) Представим степень $(c : d)^8$ в виде частного степеней. Запишем частное $c : d$ в виде дроби $\frac{c}{d}$.
$ (c : d)^8 = (\frac{c}{d})^8 $
Возводим числитель c и знаменатель d в 8-ю степень.
$ (\frac{c}{d})^8 = \frac{c^8}{d^8} $
Ответ: $ \frac{c^8}{d^8} $