Номер 1.82, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.82. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{3^{22}}{9^{10}} $;

б) $ \frac{5^{22} \cdot (5^2)^3}{5^{27}} $;

в) $ \frac{4^7}{16 \cdot 64} $;

г) $ \frac{32^3 \cdot 8^2}{16^5} $.

а) Найдем значение выражения $\frac{3^{22}}{9^{10}}$.
Для упрощения дроби приведем основание в знаменателе к основанию в числителе. Мы знаем, что $9 = 3^2$.
Подставим это в знаменатель:$9^{10} = (3^2)^{10}$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):$(3^2)^{10} = 3^{2 \cdot 10} = 3^{20}$
Теперь исходное выражение выглядит так:$\frac{3^{22}}{3^{20}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):$3^{22-20} = 3^2 = 9$
Ответ: 9.

б) Найдем значение выражения $\frac{5^{22} \cdot (5^2)^3}{5^{27}}$.
Сначала упростим числитель. Возведем степень в степень:$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$
Теперь перемножим степени в числителе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):$5^{22} \cdot 5^6 = 5^{22+6} = 5^{28}$
Выражение принимает вид:$\frac{5^{28}}{5^{27}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:$5^{28-27} = 5^1 = 5$
Ответ: 5.

в) Найдем значение выражения $\frac{4^7}{16 \cdot 64}$.
Приведем все числа к одному основанию, например, к 4.$16 = 4^2$$64 = 4^3$
Подставим эти значения в знаменатель:$16 \cdot 64 = 4^2 \cdot 4^3$
При умножении степеней их показатели складываются:$4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3} = 4^5$
Теперь выражение выглядит так:$\frac{4^7}{4^5}$
При делении степеней их показатели вычитаются:$4^{7-5} = 4^2 = 16$
Ответ: 16.

г) Найдем значение выражения $\frac{32^3 \cdot 8^2}{16^5}$.
Для упрощения приведем все основания к одному числу. В данном случае это 2.$32 = 2^5$$8 = 2^3$$16 = 2^4$
Подставим эти значения в исходное выражение:$\frac{(2^5)^3 \cdot (2^3)^2}{(2^4)^5}$
Упростим числитель и знаменатель, используя правило возведения степени в степень:$\frac{2^{5 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{2^{4 \cdot 5}} = \frac{2^{15} \cdot 2^6}{2^{20}}$
Упростим числитель, сложив показатели степеней:$\frac{2^{15+6}}{2^{20}} = \frac{2^{21}}{2^{20}}$
Разделим степени, вычитая их показатели:$2^{21-20} = 2^1 = 2$
Ответ: 2.