Номер 1.81, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.81. Упростите выражение:

а) $\frac{c^5 (c^4)^2}{c^{12}}$;

б) $\frac{c^{15} c^7}{(c^4)^3}$;

в) $\frac{(c^9 \cdot c)^5 \cdot c^4}{(c^8 : c^6)^{25}}$.

а) Дано выражение: $\frac{c^5 (c^4)^2}{c^{12}}$.
Для упрощения этого выражения будем использовать следующие свойства степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1. Сначала упростим числитель. Возведем степень в степень:
$(c^4)^2 = c^{4 \cdot 2} = c^8$.
2. Теперь выполним умножение в числителе:
$c^5 \cdot c^8 = c^{5+8} = c^{13}$.
3. Теперь все выражение имеет вид:
$\frac{c^{13}}{c^{12}}$
4. Выполним деление, вычитая показатели степеней:
$c^{13-12} = c^1 = c$.
Ответ: $c$.

б) Дано выражение: $\frac{c^{15} c^7}{(c^4)^3}$.
1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием:
$c^{15} \cdot c^7 = c^{15+7} = c^{22}$.
2. Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень:
$(c^4)^3 = c^{4 \cdot 3} = c^{12}$.
3. Теперь выражение выглядит так:
$\frac{c^{22}}{c^{12}}$
4. Выполним деление, вычитая показатели:
$c^{22-12} = c^{10}$.
Ответ: $c^{10}$.

в) Дано выражение: $\frac{(c^9 \cdot c)^5 \cdot c^4}{(c^8 : c^6)^{25}}$.
1. Начнем с упрощения числителя. Сначала выполним действие в скобках. Учитываем, что $c = c^1$:
$c^9 \cdot c^1 = c^{9+1} = c^{10}$.
Теперь возведем результат в степень 5 и умножим на $c^4$:
$(c^{10})^5 \cdot c^4 = c^{10 \cdot 5} \cdot c^4 = c^{50} \cdot c^4 = c^{50+4} = c^{54}$.
2. Теперь упростим знаменатель. Сначала выполним деление в скобках (знак ":" означает деление):
$c^8 : c^6 = c^{8-6} = c^2$.
Теперь возведем результат в степень 25:
$(c^2)^{25} = c^{2 \cdot 25} = c^{50}$.
3. Все выражение принимает вид:
$\frac{c^{54}}{c^{50}}$
4. Выполним деление, вычитая показатели:
$c^{54-50} = c^4$.
Ответ: $c^4$.