Номер 1.79, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.79. Упростите выражение с помощью свойств степени:

а) $((-7)^4)^5;$

б) $(-(-11)^7)^2;$

в) $((-3)^5)^7;$

г) $(-(-b)^5)^4;$

д) $(-(-b)^8)^3;$

е) $(-(-b)^3)^5.$

Для упрощения данных выражений мы будем использовать основное свойство степени - возведение степени в степень, которое гласит: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $. Также мы будем учитывать правила работы со знаками при возведении в степень: отрицательное число в четной степени дает положительный результат, а в нечетной — отрицательный.

а) $ ((-7)^4)^5 $
Применяем свойство возведения степени в степень, перемножая показатели: $ 4 \cdot 5 = 20 $.
$ ((-7)^4)^5 = (-7)^{4 \cdot 5} = (-7)^{20} $
Поскольку показатель степени 20 — четное число, то знак минус у основания убирается, так как $(-a)^{2k} = a^{2k}$.
$ (-7)^{20} = 7^{20} $
Ответ: $ 7^{20} $

б) $ (-(-11)^7)^2 $
Сначала упростим выражение внутри внешних скобок. Число -11 возводится в нечетную степень 7, поэтому результат будет отрицательным: $ (-11)^7 = -11^7 $.
Выражение принимает вид: $ (-(-11^7))^2 $.
Два минуса подряд дают плюс: $ -(-11^7) = 11^7 $.
Теперь возводим полученный результат в квадрат: $ (11^7)^2 $.
По свойству степени в степени: $ (11^7)^2 = 11^{7 \cdot 2} = 11^{14} $.
Ответ: $ 11^{14} $

в) $ ((-3)^5)^7 $
Используем свойство возведения степени в степень: $ ((-3)^5)^7 = (-3)^{5 \cdot 7} = (-3)^{35} $.
Показатель степени 35 — нечетное число, поэтому знак минус сохраняется: $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$.
$ (-3)^{35} = -3^{35} $.
Ответ: $ -3^{35} $

г) $ (-(-b)^5)^4 $
Упростим выражение $ (-b)^5 $. Так как степень 5 нечетная, $ (-b)^5 = -b^5 $.
Подставляем в исходное выражение: $ (-(-b^5))^4 $.
Упрощаем выражение в скобках: $ -(-b^5) = b^5 $.
Получаем $ (b^5)^4 $.
Применяем свойство степени в степени: $ (b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20} $.
Ответ: $ b^{20} $

д) $ (-(-b)^8)^3 $
Упростим выражение $ (-b)^8 $. Так как степень 8 четная, $ (-b)^8 = b^8 $.
Подставляем в исходное выражение: $ (-(b^8))^3 $ или $ (-b^8)^3 $.
Внешняя степень 3 нечетная, поэтому знак минус сохраняется.
$ (-b^8)^3 = -(b^8)^3 = -b^{8 \cdot 3} = -b^{24} $.
Ответ: $ -b^{24} $

е) $ (-(-b)^3)^5 $
Упростим выражение $ (-b)^3 $. Так как степень 3 нечетная, $ (-b)^3 = -b^3 $.
Подставляем в исходное выражение: $ (-(-b^3))^5 $.
Упрощаем выражение в скобках: $ -(-b^3) = b^3 $.
Получаем $ (b^3)^5 $.
Применяем свойство степени в степени: $ (b^3)^5 = b^{3 \cdot 5} = b^{15} $.
Ответ: $ b^{15} $