Номер 1.90, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.90. Найдите значение выражения:

a) $(\frac{1}{3})^5 \cdot 3^4;$

б) $(-0,01)^3 \cdot 100^4;$

в) $(0,25)^6 \cdot 4^7.$

а) Найдите значение выражения $(\frac{1}{3})^5 \cdot 3^4$.

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием 3. По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, следовательно, $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$(\frac{1}{3})^5 \cdot 3^4 = (3^{-1})^5 \cdot 3^4$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^{-1})^5 = 3^{-1 \cdot 5} = 3^{-5}$

Теперь выражение принимает вид:

$3^{-5} \cdot 3^4$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{-5} \cdot 3^4 = 3^{-5+4} = 3^{-1}$

Используя снова определение степени с отрицательным показателем, получаем:

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Найдите значение выражения $(-0,01)^3 \cdot 100^4$.

Представим десятичную дробь и число 100 в виде степеней с основанием 10.

$-0,01 = -\frac{1}{100} = -\frac{1}{10^2} = -10^{-2}$

$100 = 10^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(-10^{-2})^3 \cdot (10^2)^4$

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным: $(-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}$.

$(-10^{-2})^3 = -(10^{-2})^3$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к обоим множителям:

$-(10^{-2 \cdot 3}) \cdot 10^{2 \cdot 4} = -10^{-6} \cdot 10^8$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$-10^{-6+8} = -10^2$

Вычислим окончательное значение:

$-10^2 = -100$

Ответ: -100

в) Найдите значение выражения $(0,25)^6 \cdot 4^7$.

Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 4.

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Используя определение степени с отрицательным показателем, $\frac{1}{a} = a^{-1}$, получаем:

$\frac{1}{4} = 4^{-1}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$(4^{-1})^6 \cdot 4^7$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$4^{-1 \cdot 6} \cdot 4^7 = 4^{-6} \cdot 4^7$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$4^{-6+7} = 4^1 = 4$

Ответ: 4