Номер 1.91, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.91. Представьте выражение $\frac{2^{12} \cdot 7^8}{14^8}$ в виде степени с основанием 4.

Для того чтобы представить данное выражение в виде степени с основанием 4, выполним следующие преобразования, используя свойства степеней.

1. Запишем исходное выражение:

$$ \frac{2^{12} \cdot 7^8}{14^8} $$

2. Представим число 14 в знаменателе как произведение простых множителей: $14 = 2 \cdot 7$.

3. Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, преобразуем знаменатель:

$$ 14^8 = (2 \cdot 7)^8 = 2^8 \cdot 7^8 $$

4. Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$$ \frac{2^{12} \cdot 7^8}{2^8 \cdot 7^8} $$

5. Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ \frac{2^{12}}{2^8} \cdot \frac{7^8}{7^8} = 2^{12-8} \cdot 7^{8-8} = 2^4 \cdot 7^0 $$

6. Поскольку любое число в нулевой степени равно единице ($a^0=1$), выражение упрощается до:

$$ 2^4 \cdot 1 = 2^4 $$

7. На последнем шаге нам нужно представить результат $2^4$ в виде степени с основанием 4. Зная, что $4 = 2^2$, мы можем переписать $2^4$ следующим образом:

$$ 2^4 = (2^2)^2 = 4^2 $$

Таким образом, исходное выражение равно $4^2$.

Ответ: $4^2$.