Номер 1.94, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.94*. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 13.

Чтобы доказать, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 13, необходимо преобразовать это выражение, выделив в нем множитель 13.

1. Используем свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Представим слагаемые $3^{n+1}$ и $3^{n+2}$ следующим образом:

$3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n$

$3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n$

2. Подставим полученные выражения в исходное равенство:

$3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} = 3^n + 3 \cdot 3^n + 9 \cdot 3^n$

3. Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:

$3^n \cdot (1 + 3 + 9)$

4. Вычислим сумму в скобках:

$1 + 3 + 9 = 13$

5. В результате преобразований исходное выражение принимает вид:

$13 \cdot 3^n$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $3^n$ всегда будет целым числом. Произведение числа 13 на любое целое число ($3^n$) по определению делится на 13 нацело. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 13 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано. Так как выражение $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ можно представить в виде $13 \cdot 3^n$, оно всегда будет кратно 13, потому что один из его множителей равен 13, а второй множитель, $3^n$, является целым числом для любого натурального $n$.