Номер 1.93, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.93*. Докажите, что значение выражения $8^{17} - 2^{45}$ кратно 18.

Чтобы доказать, что значение выражения $8^{17} - 2^{45}$ кратно 18, необходимо показать, что это выражение делится на 18 без остатка. Для этого преобразуем выражение.

1. Приведем степени к одному основанию. Так как $8 = 2^3$, мы можем переписать первый член выражения:

$8^{17} = (2^3)^{17}$

2. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(2^3)^{17} = 2^{3 \cdot 17} = 2^{51}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$2^{51} - 2^{45}$

3. Вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $2^{45}$:

$2^{51} - 2^{45} = 2^{45} \cdot 2^{6} - 2^{45} \cdot 1 = 2^{45}(2^6 - 1)$

4. Вычислим значение выражения в скобках:

$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$

Таким образом, наше выражение равно:

$2^{45} \cdot 63$

5. Чтобы доказать кратность 18, представим 18 в виде произведения простых множителей: $18 = 2 \cdot 9$. Нам нужно показать, что наше выражение делится и на 2, и на 9.

Преобразуем полученное произведение:

$2^{45} \cdot 63 = 2^{45} \cdot (7 \cdot 9) = (2 \cdot 9) \cdot (2^{44} \cdot 7) = 18 \cdot (2^{44} \cdot 7)$

Поскольку выражение $8^{17} - 2^{45}$ равно произведению числа 18 и целого числа $k = 2^{44} \cdot 7$, оно делится на 18 без остатка, то есть кратно 18.

Ответ: Доказательство завершено. Выражение $8^{17} - 2^{45}$ можно представить в виде $18 \cdot k$, где $k$ – целое число, следовательно, оно кратно 18.