Номер 4.132, страница 289 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.132. Разложите на множители:

a) $7x - 7y + a(y - x)$;

б) $(2x + 3)^2 - (x - 1)^2$.

Разложите на множители:

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся методом группировки и вынесения общего множителя за скобки.

1. Сгруппируем первые два слагаемых $7x - 7y$ и вынесем общий множитель 7 за скобки:
   $7x - 7y = 7(x - y)$
2. Теперь исходное выражение принимает вид:
   $7(x - y) + a(y - x)$
3. Заметим, что выражения в скобках $(x - y)$ и $(y - x)$ являются противоположными. Мы можем изменить знак во второй скобке, вынеся -1 за скобку:
   $a(y - x) = a(-1 \cdot (x - y)) = -a(x - y)$
4. Подставим полученное выражение обратно в наше уравнение:
   $7(x - y) - a(x - y)$
5. Теперь у нас есть общий множитель $(x - y)$, который мы можем вынести за скобки:
   $(x - y)(7 - a)$

Ответ: $(7 - a)(x - y)$

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1. В нашем случае $A = (2x + 3)$ и $B = (x - 1)$.
2. Подставим эти значения в формулу:
   $( (2x + 3) - (x - 1) ) \cdot ( (2x + 3) + (x - 1) )$
3. Теперь упростим выражения в каждой из скобок. Раскроем внутренние скобки. Важно помнить, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
4. Упрощаем первую скобку (разность A и B):
   $(2x + 3) - (x - 1) = 2x + 3 - x + 1 = (2x - x) + (3 + 1) = x + 4$
5. Упрощаем вторую скобку (сумма A и B):
   $(2x + 3) + (x - 1) = 2x + 3 + x - 1 = (2x + x) + (3 - 1) = 3x + 2$
6. В результате получаем произведение двух множителей:
   $(x + 4)(3x + 2)$

Ответ: $(x + 4)(3x + 2)$