Номер 4.138, страница 290 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.138. Катер прошел по озеру на 6 км больше, чем по реке против течения, затратив на путь по реке на 30 мин больше, чем на путь по озеру. Найдите длину пути, который катер прошел по реке, если его скорость при движении по озеру $10 \frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$, а против течения реки $8 \frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение на основе предоставленных данных.

1. Определение переменных и данных

Пусть $x$ км — это длина пути, который катер прошел по реке против течения.

• Скорость катера по озеру (собственная скорость катера): $v_{озера} = 10 \text{ км/ч}$.
• Скорость катера против течения реки: $v_{против} = 8 \text{ км/ч}$.
• Длина пути по реке: $S_{реки} = x \text{ км}$.
• По условию, катер прошел по озеру на 6 км больше, значит, длина пути по озеру: $S_{озера} = x + 6 \text{ км}$.
• Время, затраченное на путь по реке, на 30 минут больше, чем на путь по озеру. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = \frac{1}{2} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.

2. Составление уравнения

Воспользуемся основной формулой движения: время = расстояние / скорость ($t = \frac{S}{v}$).

• Время движения по реке: $t_{реки} = \frac{S_{реки}}{v_{против}} = \frac{x}{8}$ ч.
• Время движения по озеру: $t_{озера} = \frac{S_{озера}}{v_{озера}} = \frac{x + 6}{10}$ ч.

Так как время в пути по реке на $\frac{1}{2}$ часа больше, чем по озеру, мы можем составить следующее уравнение:

$t_{реки} = t_{озера} + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{8} = \frac{x + 6}{10} + \frac{1}{2}$

3. Решение уравнения

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8, 10 и 2, которое равно 40.

$40 \cdot \left(\frac{x}{8}\right) = 40 \cdot \left(\frac{x + 6}{10}\right) + 40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

$5x = 4(x + 6) + 20$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x = 4x + 24 + 20$

Приведем подобные слагаемые:

$5x = 4x + 44$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$5x - 4x = 44$

$x = 44$

Таким образом, длина пути, который катер прошел по реке, составляет 44 км.

4. Проверка

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходные условия.

• Длина пути по реке: $S_{реки} = 44$ км.
• Длина пути по озеру: $S_{озера} = 44 + 6 = 50$ км.
• Время по реке: $t_{реки} = \frac{44}{8} = 5.5$ часа.
• Время по озеру: $t_{озера} = \frac{50}{10} = 5$ часов.

Разница во времени составляет $5.5 - 5 = 0.5$ часа, что равно 30 минутам. Решение верное.

Найдите длину пути, который катер прошел по реке
Ответ: 44 км.