Номер 4.143, страница 294 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.143. Двое рабочих изготовили 162 детали. Первый работал 8 дней, а второй — 15 дней. Сколько деталей изготавливал ежедневно каждый рабочий, если первый за 5 дней изготовил на 3 детали больше, чем второй за 7 дней?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений на основе данных из условия.

• Пусть $x$ — количество деталей, которое первый рабочий изготавливает за один день (производительность первого рабочего).
• Пусть $y$ — количество деталей, которое второй рабочий изготавливает за один день (производительность второго рабочего).

1. Составление системы уравнений

Из первого условия: "Двое рабочих изготовили 162 детали. Первый работал 8 дней, а второй — 15 дней".
За 8 дней первый рабочий изготовил $8x$ деталей, а второй за 15 дней изготовил $15y$ деталей. Их общая работа равна 162 деталям. Это дает нам первое уравнение:

$8x + 15y = 162$

Из второго условия: "первый за 5 дней изготовил на 3 детали больше, чем второй за 7 дней".
Количество деталей, изготовленных первым рабочим за 5 дней ($5x$), больше количества деталей, изготовленных вторым за 7 дней ($7y$), на 3. Это дает нам второе уравнение:

$5x - 7y = 3$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 8x + 15y = 162 \\ 5x - 7y = 3 \end{cases} $

2. Решение системы уравнений

Решим систему методом исключения. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 8, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $x$:

$ \begin{cases} 5 \cdot (8x + 15y) = 5 \cdot 162 \\ 8 \cdot (5x - 7y) = 8 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 40x + 75y = 810 \\ 40x - 56y = 24 \end{cases} $

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x$:

$(40x + 75y) - (40x - 56y) = 810 - 24$

$40x + 75y - 40x + 56y = 786$

$131y = 786$

Находим $y$:

$y = \frac{786}{131} = 6$

Теперь подставим найденное значение $y=6$ в любое из исходных уравнений, например, во второе ($5x - 7y = 3$):

$5x - 7(6) = 3$

$5x - 42 = 3$

$5x = 42 + 3$

$5x = 45$

Находим $x$:

$x = \frac{45}{5} = 9$

Итак, производительность первого рабочего — 9 деталей в день, а второго — 6 деталей в день.

Первый рабочий
Ежедневная производительность первого рабочего составляет 9 деталей.
Ответ: 9

Второй рабочий
Ежедневная производительность второго рабочего составляет 6 деталей.
Ответ: 6