Номер 4.149, страница 295 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.149. Услугами туристической фирмы зимой воспользовалось 1200 взрослых и детей. Летом число взрослых уменьшилось на $10 \\%$, а число детей увеличилось на $20 \\%$, общее число туристов увеличилось на 75 человек. Сколько взрослых и сколько детей отдыхало летом?

Данная задача решается с помощью составления и решения системы уравнений. Разберем решение по шагам.

Шаг 1: Введение переменных и составление системы уравнений

Пусть $x$ — количество взрослых, которые воспользовались услугами фирмы зимой, а $y$ — количество детей.

Согласно условию, общее число туристов зимой составляло 1200 человек. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 1200$

Далее, известно, что летом число взрослых уменьшилось на 10%, а число детей увеличилось на 20%. Изменение числа взрослых можно выразить как $-0.1x$, а изменение числа детей — как $+0.2y$. Общее число туристов увеличилось на 75 человек, что является суммой этих изменений. Это дает нам второе уравнение:

$-0.1x + 0.2y = 75$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 1200 \\ -0.1x + 0.2y = 75 \end{cases} $$

Шаг 2: Решение системы уравнений

Для упрощения решения умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (-0.1x + 0.2y) = 10 \cdot 75 \implies -x + 2y = 750$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$$ \begin{cases} x + y = 1200 \\ -x + 2y = 750 \end{cases} $$

Сложим левые и правые части обоих уравнений, чтобы найти $y$:

$(x + y) + (-x + 2y) = 1200 + 750$

$3y = 1950$

$y = \frac{1950}{3} = 650$

Итак, зимой было 650 детей.

Теперь найдем количество взрослых ($x$), подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x + 650 = 1200$

$x = 1200 - 650 = 550$

Итак, зимой было 550 взрослых.

Шаг 3: Расчет числа туристов летом

Теперь, зная количество взрослых и детей зимой, мы можем ответить на главный вопрос задачи.

Сколько взрослых отдыхало летом?

Число взрослых уменьшилось на 10% по сравнению с зимой. Это значит, что их стало $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначального числа.

Количество взрослых летом: $550 \times 0.9 = 495$.

Ответ: 495

Сколько детей отдыхало летом?

Число детей увеличилось на 20% по сравнению с зимой. Это значит, что их стало $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначального числа.

Количество детей летом: $650 \times 1.2 = 780$.

Ответ: 780

Проверка

Общее количество туристов летом составило: $495 + 780 = 1275$ человек.

Общее количество туристов зимой было 1200 человек.

Разница составляет: $1275 - 1200 = 75$ человек, что совпадает с условием задачи.