вопросы, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Может ли числовое выражение содержать:

а) только числа и знаки действий;

б) только числа и скобки;

в) только скобки и знаки действий;

г) только числа?

2. Может ли выражение с переменными содержать:

а) только числа и переменные;

б) только переменные и скобки;

в) только переменные и знаки действий;

г) только переменные?

3. Найдите ошибку в утверждении: «Если выражение с переменной содержит действие деления, то его область определения — не все числа».

1. Может ли числовое выражение содержать:

а) только числа и знаки действий; Да, это соответствует основному определению числового выражения. Такое выражение состоит из чисел, соединенных знаками арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление).
Пример: $5 + 3 - 2$.
Ответ: Да.

б) только числа и скобки; Да, это возможно в простейшем случае. Например, $(12)$ является числовым выражением, значение которого равно 12, и оно содержит только число и скобки. Однако для того, чтобы объединить несколько чисел в одно выражение, необходимы знаки действий, так как скобки сами по себе не выполняют операций, а лишь указывают на порядок их выполнения.
Пример: $(15)$.
Ответ: Да.

в) только скобки и знаки действий; Нет, такое выражение невозможно. Для выполнения арифметического действия необходимы числа (операнды), к которым это действие применяется. Выражение, состоящее только из знаков и скобок, например, $(+ *)$, не имеет математического смысла.
Ответ: Нет.

г) только числа? Да. Любое отдельно взятое число является простейшим видом числового выражения.
Пример: $7$ или $-2.5$.
Ответ: Да.

2. Может ли выражение с переменными содержать:

а) только числа и переменные; Нет. Чтобы связать число и переменную в одно осмысленное выражение, необходим знак действия. Запись $5x$ подразумевает действие умножения ($5 \cdot x$), поэтому она содержит не только число и переменную, но и знак действия (хоть и опущенный). Без знака действия набор символов `5, x` не является единым выражением.
Ответ: Нет.

б) только переменные и скобки; Да, по аналогии с числовыми выражениями. Выражение $(x)$ является корректным выражением с переменной и содержит только переменную и скобки. Его значение равно значению переменной $x$.
Пример: $(a)$.
Ответ: Да.

в) только переменные и знаки действий; Да, это один из основных видов алгебраических выражений.
Пример: $x + y - z$.
Ответ: Да.

г) только переменные? Да. Отдельно взятая переменная является простейшим видом выражения с переменной.
Пример: $y$.
Ответ: Да.

3. Найдите ошибку в утверждении: «Если выражение с переменной содержит действие деления, то его область определения — не все числа».

Ошибка этого утверждения заключается в его излишней категоричности. Ограничения на область определения накладываются не самим фактом наличия деления, а возможностью обращения знаменателя в ноль, так как деление на ноль не определено.

Утверждение неверно, потому что существуют выражения, которые содержат деление, но их область определения — все числа. Это происходит в случаях, когда знаменатель не содержит переменной и не равен нулю, или когда знаменатель содержит переменную, но не может обратиться в ноль ни при каких ее действительных значениях.

Пример-опровержение 1: Деление на константу.
Рассмотрим выражение $ \frac{x}{7} $. Оно содержит переменную $x$ и действие деления. Однако знаменатель — это число 7, которое не равно нулю. Поэтому переменная $x$ может принимать абсолютно любое значение. Область определения этого выражения — все числа.

Пример-опровержение 2: Знаменатель никогда не равен нулю.
Рассмотрим выражение $ \frac{10}{a^2 + 1} $. Оно содержит переменную $a$ и действие деления. Знаменатель $a^2 + 1$ при любом действительном значении $a$ будет строго больше нуля ($a^2 \ge 0 \implies a^2+1 \ge 1$). Так как знаменатель никогда не обращается в ноль, область определения этого выражения — также все числа.

Ответ: Ошибка в том, что утверждение не учитывает случаи, когда знаменатель в выражении с делением является ненулевой константой или выражением, которое не может быть равно нулю. В таких случаях область определения может включать все числа.