Номер 10, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Представьте сумму $2 \cdot 16^n + 2^n \cdot 8^n + 2^{4n}$ в виде степени с основанием 2.

Для решения этой задачи необходимо представить каждое слагаемое в виде степени с основанием 2, а затем упростить полученное выражение, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $2 \cdot 16^n + 2^n \cdot 8^n + 2^{4n}$

Шаг 1: Преобразование каждого слагаемого.

• Первое слагаемое: $2 \cdot 16^n$.

  Представим число 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.

  Тогда $16^n = (2^4)^n = 2^{4n}$.

  Все слагаемое будет равно: $2 \cdot 2^{4n} = 2^1 \cdot 2^{4n} = 2^{1+4n} = 2^{4n+1}$.

• Второе слагаемое: $2^n \cdot 8^n$.

  Представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.

  Тогда $8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$.

  Все слагаемое будет равно: $2^n \cdot 2^{3n} = 2^{n+3n} = 2^{4n}$.

• Третье слагаемое $2^{4n}$ уже представлено в виде степени с основанием 2.

Шаг 2: Сложение преобразованных слагаемых.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную сумму:

$2^{4n+1} + 2^{4n} + 2^{4n}$

Шаг 3: Упрощение суммы.

Сгруппируем одинаковые слагаемые $2^{4n} + 2^{4n} = 2 \cdot 2^{4n}$.

Упростим эту часть: $2 \cdot 2^{4n} = 2^1 \cdot 2^{4n} = 2^{1+4n} = 2^{4n+1}$.

Теперь наша сумма выглядит так:

$2^{4n+1} + 2^{4n+1}$

Это два одинаковых слагаемых, поэтому их сумма равна:

$2 \cdot 2^{4n+1} = 2^1 \cdot 2^{4n+1} = 2^{1 + (4n+1)} = 2^{4n+2}$.

Ответ: $2^{4n+2}$