Номер 6, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Какие свойства имеет степень с целым показателем? Установите порядок действий и упростите

выражение $\frac{(a^{5})^{-2} \cdot (a^{-13})^{-1}}{a^{7}}$ .

Степень с целым показателем обладает рядом свойств, которые справедливы для любых действительных чисел $a, b$ (где $a \ne 0, b \ne 0$) и любых целых чисел $m, n$:

• Произведение степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
• Частное степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя.
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
  При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• Степень произведения: $(ab)^n = a^n b^n$
  Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя.
• Степень частного (дроби): $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
  Степень дроби равна дроби, числитель и знаменатель которой возведены в ту же степень.
• Степень с нулевым показателем: $a^0 = 1$
  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
• Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
  Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем.

Ответ: Степень с целым показателем обладает свойствами умножения, деления, возведения в степень, а также имеет определения для нулевого и отрицательного показателей.

Установите порядок действий и упростите выражение $\frac{(a^5)^{-2} \cdot (a^{-13})^{-1}}{a^7}$.

Для упрощения выражения необходимо последовательно применить свойства степени. Порядок действий следующий:

1. Сначала упростим числитель, применив правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
2. Затем выполним умножение в числителе, используя правило умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
3. В конце выполним деление, применив правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Проведем вычисления:

$\frac{(a^5)^{-2} \cdot (a^{-13})^{-1}}{a^7} = \frac{a^{5 \cdot (-2)} \cdot a^{-13 \cdot (-1)}}{a^7} = \frac{a^{-10} \cdot a^{13}}{a^7} = \frac{a^{-10+13}}{a^7} = \frac{a^3}{a^7} = a^{3-7} = a^{-4}$

Результат также можно представить в виде дроби: $a^{-4} = \frac{1}{a^4}$.

Ответ: $a^{-4}$