Номер 4, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Используя свойства степени, найдите выражение, значение которого не равно 1:

a) $(5\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{16})^5;$

б) $(2^4)^2 \cdot 2^3 : 2^{10};$

в) $\frac{4^7 \cdot 64}{16^5}.$

Для того чтобы найти выражение, значение которого не равно 1, необходимо вычислить значение каждого из предложенных выражений, используя свойства степени.

а) $(5\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{16})^5$

Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь выражение принимает вид: $(\frac{16}{3})^5 \cdot (\frac{3}{16})^5$.

Используем свойство степени для произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратном порядке $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Получаем:

$(\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{16})^5 = (1)^5 = 1$.

Ответ: 1

б) $(2^4)^2 \cdot 2^3 : 2^{10}$

Последовательно применяя свойства степеней (возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, умножение $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и деление $a^m : a^n = a^{m-n}$ степеней с одинаковым основанием), получаем:

$(2^4)^2 \cdot 2^3 : 2^{10} = 2^{4 \cdot 2} \cdot 2^3 : 2^{10} = 2^8 \cdot 2^3 : 2^{10} = 2^{8+3} : 2^{10} = 2^{11} : 2^{10} = 2^{11-10} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

в) $\frac{4^7 \cdot 64}{16^5}$

Для упрощения выражения представим все основания степеней как степени числа 2: $4=2^2$, $64=2^6$, $16=2^4$.

Подставляем эти значения в дробь:

$\frac{(2^2)^7 \cdot 2^6}{(2^4)^5} = \frac{2^{2 \cdot 7} \cdot 2^6}{2^{4 \cdot 5}} = \frac{2^{14} \cdot 2^6}{2^{20}}$

Используем свойства степеней для числителя и затем для дроби:

$\frac{2^{14+6}}{2^{20}} = \frac{2^{20}}{2^{20}} = 1$.

Ответ: 1

Сравнив полученные результаты, мы видим, что значения выражений а) и в) равны 1, а значение выражения б) равно 2. Следовательно, выражение, значение которого не равно 1, это б).