Номер 9, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Как найти порядок числа? Порядок числа $a$ равен 12, а порядок числа $b$ равен 14. Каким может быть порядок частного $\frac{b}{a}$?

Порядком элемента $g$ в группе $(G, *)$ с нейтральным элементом $e$ называется наименьшее натуральное число $n$, такое что $g^n = e$. Если такого числа не существует, порядок считается бесконечным. Порядок элемента $g$ обычно обозначается как $ord(g)$ или $|g|$.

Чтобы найти порядок элемента $g$, необходимо вычислять его степени: $g^1, g^2, g^3, \dots$ до тех пор, пока впервые не будет получен нейтральный элемент $e$. Показатель степени $n$, при котором это произойдет, и будет порядком элемента.

В случае конечной группы, согласно теореме Лагранжа, порядок любого элемента должен быть делителем порядка группы. Это свойство может значительно упростить поиск, так как позволяет ограничить проверку только делителями порядка группы.

Ответ: Порядок числа (элемента группы) — это наименьшая натуральная степень, в которую нужно возвести это число, чтобы получить нейтральный элемент (обычно 1 для умножения или 0 для сложения).

Каким может быть порядок частного $\frac{b}{a}$?

Дано, что порядок числа $a$ равен 12 ($ord(a) = 12$), а порядок числа $b$ равен 14 ($ord(b) = 14$). Нам нужно найти возможные значения порядка частного $g = \frac{b}{a} = ba^{-1}$. Для решения задачи будем предполагать, что $a$ и $b$ являются элементами абелевой (коммутативной) группы.

Пусть $k = ord(g) = ord(ba^{-1})$.

1. Найдем верхнюю границу для $k$.
Порядок произведения элементов в абелевой группе делит наименьшее общее кратное (НОК) их порядков. Порядок элемента $a^{-1}$ равен порядку элемента $a$, то есть $ord(a^{-1}) = 12$.
Тогда $k$ должен делить $lcm(ord(b), ord(a^{-1})) = lcm(14, 12)$.
$12 = 2^2 \cdot 3$
$14 = 2 \cdot 7$
$lcm(12, 14) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
Следовательно, $k$ должен быть делителем числа 84.

2. Найдем нижнюю границу для $k$.
По определению порядка, $g^k = (ba^{-1})^k = e$ (где $e$ - нейтральный элемент).
В абелевой группе это означает $b^k (a^{-1})^k = b^k a^{-k} = e$, откуда следует, что $b^k = a^k$.
Возведем обе части равенства $b^k = a^k$ в степень 12 (порядок элемента $a$):
$(b^k)^{12} = (a^k)^{12} = (a^{12})^k = e^k = e$.
Таким образом, $b^{12k} = e$. Это означает, что порядок элемента $b$ (равный 14) должен делить $12k$.
$14 | 12k \implies 7 | 6k$. Так как 7 и 6 взаимно просты, то $7 | k$.
Теперь возведем обе части равенства $b^k = a^k$ в степень 14 (порядок элемента $b$):
$(a^k)^{14} = (b^k)^{14} = (b^{14})^k = e^k = e$.
Таким образом, $a^{14k} = e$. Это означает, что порядок элемента $a$ (равный 12) должен делить $14k$.
$12 | 14k \implies 6 | 7k$. Так как 6 и 7 взаимно просты, то $6 | k$.
Итак, мы получили, что $k$ делится и на 6, и на 7. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, $k$ должен делиться на их произведение: $lcm(6, 7) = 42$.

3. Определим возможные значения $k$.
Из пунктов 1 и 2 следует, что $k$ должен быть делителем 84 и одновременно кратным 42.
Этим условиям удовлетворяют два числа: 42 и 84.

4. Проверим, возможно ли значение $k=42$.
Рассмотрим степень $g^{42} = (ba^{-1})^{42} = b^{42}a^{-42}$.
Вычислим каждый множитель отдельно:
$b^{42} = b^{3 \cdot 14} = (b^{14})^3 = e^3 = e$.
$a^{-42} = (a^{12})^{-3} \cdot a^{-6} = e^{-3} \cdot a^{-6} = a^{-6}$.
Таким образом, $g^{42} = e \cdot a^{-6} = a^{-6}$.
Если бы порядок $g$ был равен 42, то должно было бы выполняться $g^{42} = e$, что означает $a^{-6} = e$, или $a^6 = e$. Но если $a^6=e$, то порядок $a$ должен делить 6, что противоречит условию $ord(a)=12$.
Следовательно, $g^{42} \neq e$, и порядок частного не может быть равен 42.

5. Заключение.
Единственным возможным значением для порядка частного $\frac{b}{a}$ остается 84. Можно показать, что такое значение достигается. Например, в группе $G = \mathbb{Z}_{84}$ (сложение по модулю 84) выберем $a=7$ и $b=6$. Тогда $ord(a) = 84/gcd(84,7) = 84/7 = 12$, а $ord(b) = 84/gcd(84,6) = 84/6 = 14$. Порядок частного (в аддитивной нотации - разности) $\frac{b}{a} \equiv b-a = 6-7 = -1 \equiv 83$. Порядок элемента 83 равен $ord(83) = 84/gcd(84,83) = 84/1 = 84$.

Ответ: 84