Номер 2, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Если $a^3 > a^4$, то число $a$ может быть равно:

а) 7;

б) $\frac{1}{7}$;

в) -7;

г) $-\frac{1}{7}$.

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел может быть значением $a$, необходимо решить неравенство $a^3 > a^4$.

1. Решение неравенства

Перенесем все члены неравенства в одну сторону:

$a^3 - a^4 > 0$

Вынесем за скобки общий множитель $a^3$:

$a^3(1 - a) > 0$

Произведение двух множителей ($a^3$ и $1-a$) будет положительным, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны).

Случай 1: Оба множителя положительны.

$\begin{cases} a^3 > 0 \\ 1 - a > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства системы следует, что $a > 0$.
Из второго неравенства системы следует, что $a < 1$.
Общим решением для этого случая является интервал $0 < a < 1$.

Случай 2: Оба множителя отрицательны.

$\begin{cases} a^3 < 0 \\ 1 - a < 0 \end{cases}$

Из первого неравенства системы следует, что $a < 0$.
Из второго неравенства системы следует, что $a > 1$.
Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше 0 и больше 1.

Таким образом, исходное неравенство $a^3 > a^4$ выполняется только для тех значений $a$, которые находятся в интервале $(0, 1)$.

2. Проверка предложенных вариантов

Теперь проверим, какой из предложенных вариантов ответа попадает в найденный интервал $a \in (0, 1)$.

а) Для $a = 7$.
Число 7 не принадлежит интервалу $(0, 1)$, так как $7 > 1$.
Проверка подстановкой: $7^3 > 7^4 \implies 343 > 2401$. Неравенство неверно.
Ответ: не подходит.

б) Для $a = \frac{1}{7}$.
Число $\frac{1}{7}$ принадлежит интервалу $(0, 1)$, так как $0 < \frac{1}{7} < 1$.
Проверка подстановкой: $(\frac{1}{7})^3 > (\frac{1}{7})^4 \implies \frac{1}{343} > \frac{1}{2401}$. Неравенство верно, так как из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше.
Ответ: подходит.

в) Для $a = -7$.
Число -7 не принадлежит интервалу $(0, 1)$, так как $-7 < 0$.
Проверка подстановкой: $(-7)^3 > (-7)^4 \implies -343 > 2401$. Неравенство неверно, так как отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: не подходит.

г) Для $a = -\frac{1}{7}$.
Число $-\frac{1}{7}$ не принадлежит интервалу $(0, 1)$, так как $-\frac{1}{7} < 0$.
Проверка подстановкой: $(-\frac{1}{7})^3 > (-\frac{1}{7})^4 \implies -\frac{1}{343} > \frac{1}{2401}$. Неравенство неверно.
Ответ: не подходит.

Итоговый ответ: Единственным числом, удовлетворяющим условию задачи, является $\frac{1}{7}$. Это соответствует варианту б).