Номер 8, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите значение выражения $\frac{24^4 \cdot 6^3 \cdot 12^2}{48^3 \cdot 3^4 \cdot 18}$

8. Найдите значение выражения $\frac{24^4 \cdot 6^3 \cdot 12^2}{48^3 \cdot 3^4 \cdot 18}$

Для решения данной задачи необходимо упростить выражение, разложив числа в числителе и знаменателе на простые множители и применив свойства степеней.

Шаг 1: Разложим все составные числа на простые множители.

• $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
• $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
• $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Шаг 2: Подставим эти разложения в исходное выражение.

$\frac{(2^3 \cdot 3)^4 \cdot (2 \cdot 3)^3 \cdot (2^2 \cdot 3)^2}{(2^4 \cdot 3)^3 \cdot 3^4 \cdot (2 \cdot 3^2)}$

Шаг 3: Используем свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, чтобы раскрыть скобки.

$\frac{(2^{3 \cdot 4} \cdot 3^4) \cdot (2^3 \cdot 3^3) \cdot (2^{2 \cdot 2} \cdot 3^2)}{(2^{4 \cdot 3} \cdot 3^3) \cdot 3^4 \cdot (2 \cdot 3^2)} = \frac{(2^{12} \cdot 3^4) \cdot (2^3 \cdot 3^3) \cdot (2^4 \cdot 3^2)}{(2^{12} \cdot 3^3) \cdot 3^4 \cdot 2^1 \cdot 3^2}$

Шаг 4: Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе.

В числителе: $2^{12+3+4} \cdot 3^{4+3+2} = 2^{19} \cdot 3^9$

В знаменателе: $2^{12+1} \cdot 3^{3+4+2} = 2^{13} \cdot 3^9$

Шаг 5: Запишем дробь с новыми показателями и используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для сокращения.

$\frac{2^{19} \cdot 3^9}{2^{13} \cdot 3^9} = 2^{19-13} \cdot 3^{9-9} = 2^6 \cdot 3^0$

Шаг 6: Вычислим окончательный результат, зная, что любое число в нулевой степени равно 1 (т.е. $a^0=1$).

$2^6 \cdot 1 = 2^6 = 64$

Ответ: 64