исследовательское задание 2, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Исследовательское задание 2.

а) Найдите информацию о записи степеней чисел в различных системах счисления.

б) Придумайте для друзей задания о записи степеней чисел в различных системах счисления.

Исследовательское задание 2

а) Найдите информацию о записи степеней чисел в различных системах счисления.

Запись степеней основания системы счисления имеет очень простой и элегантный вид. Если у нас есть система счисления с основанием b, то любое число вида $b^n$ (где n - целое неотрицательное число) будет записываться в этой системе как единица, за которой следует n нулей.

Это следует из самой структуры позиционной системы счисления. Любое число можно представить в виде суммы произведений коэффициентов (цифр) на степени основания:

$N = d_k b^k + d_{k-1} b^{k-1} + \dots + d_1 b^1 + d_0 b^0$

Для числа $N = b^n$ это представление выглядит так:

$b^n = 1 \cdot b^n + 0 \cdot b^{n-1} + \dots + 0 \cdot b^1 + 0 \cdot b^0$

Таким образом, коэффициент при $b^n$ равен 1, а все остальные коэффициенты (при меньших степенях b) равны 0. Это и дает нам запись "1" и "n" нулей.

Примеры:

• Десятичная система (основание 10):
  $10^2 = 100_{10}$ (единица и два нуля)
  $10^4 = 10000_{10}$ (единица и четыре нуля)
• Двоичная система (основание 2):
  $2^3 = 8_{10}$. В двоичной системе это $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$, что записывается как $1000_2$ (единица и три нуля).
  $2^5 = 32_{10}$. В двоичной системе это $100000_2$ (единица и пять нулей).
• Восьмеричная система (основание 8):
  $8^2 = 64_{10}$. В восьмеричной системе это $1 \cdot 8^2 + 0 \cdot 8^1 + 0 \cdot 8^0$, что записывается как $100_8$ (единица и два нуля).
• Шестнадцатеричная система (основание 16):
  $16^3 = 4096_{10}$. В шестнадцатеричной системе это $1 \cdot 16^3 + 0 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0$, что записывается как $1000_{16}$ (единица и три нуля).

Это свойство очень удобно для быстрого перевода чисел, которые являются степенями основания, между системами счисления.

Ответ: Число, равное основанию системы счисления b, возведенному в степень n (т.е. $b^n$), записывается в этой системе счисления как цифра 1, за которой следуют n нулей.

б) Придумайте для друзей задания о записи степеней чисел в различных системах счисления.

Вот несколько заданий разного уровня сложности, основанных на этой теме:

1. Задание 1 (Простое):
   Как будет выглядеть число $16^5$ в шестнадцатеричной системе счисления?

   Решение: Так как основание системы счисления (16) совпадает с основанием степени, мы можем применить правило. Число $16^5$ будет записано как единица, за которой следует 5 нулей.

   Ответ: $100000_{16}$.

2. Задание 2 (На перевод и сложение):
   Запишите число $2^7 + 2^4 + 2^2 + 2^0$ в двоичной системе счисления.

   Решение: Это число можно представить как сумму степеней двойки. В позиционной двоичной системе каждый разряд соответствует определенной степени двойки. Нам нужно поставить единицы на места, соответствующие степеням 7, 4, 2 и 0, а на остальные места — нули.

   $1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$

   Собираем коэффициенты и получаем двоичное число.

   Ответ: $10010101_2$.

3. Задание 3 (Обратная задача):
   Число в восьмеричной системе записано как $10000_8$. Какому числу в десятичной системе оно равно?

   Решение: Запись $10000_8$ означает, что это единица, за которой следуют 4 нуля, в системе счисления с основанием 8. Следовательно, это число равно $8^4$.

   $8^4 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 64 = 4096$.

   Ответ: $4096_{10}$.

4. Задание 4 (Сравнение):
   Сравните числа $A00_{16}$ и $2550_{10}$. Какое из них больше?

   Решение: Для сравнения нужно перевести оба числа в одну систему счисления, например, в десятичную. Число $2550_{10}$ уже в десятичной системе.
   Переведем $A00_{16}$ в десятичную. Цифра 'A' в шестнадцатеричной системе соответствует числу 10 в десятичной.

   $A00_{16} = A \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0 = 10 \cdot 256 = 2560_{10}$.

   Теперь сравниваем: $2560_{10} > 2550_{10}$.

   Ответ: Число $A00_{16}$ больше.

Ответ: Задания для друзей придуманы и представлены выше с решениями.