Номер 1.205, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.205. Для измерения расстояний между объектами в Солнечной системе используются следующие единицы:

• астрономическая единица — это расстояние от Земли до Солнца, равное $1,5 \cdot 10^8$ км;

• световой год — это расстояние, которое луч света проходит в вакууме за один год, равное $9,5 \times 10^{12}$ км.

Вычислите, сколько:

а) астрономических единиц в одном световом году;

б) суток понадобится летательному аппарату, скорость которого $20\,000 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, чтобы добраться до Марса, если расстояние от Земли до Марса в момент противостояния (максимального сближения планет) равно 0,37 астрономической единицы.

а) сколько астрономических единиц в одном световом годе;

Чтобы найти, сколько астрономических единиц (а.е.) содержится в одном световом годе, необходимо разделить расстояние, которое свет проходит за год, на расстояние, равное одной астрономической единице. Все величины должны быть в одних и тех же единицах измерения (километрах).

Исходные данные:

• 1 световой год = $9.5 \times 10^{12}$ км
• 1 астрономическая единица = $1.5 \times 10^{8}$ км

Выполняем деление:

$$ \frac{9.5 \times 10^{12} \text{ км}}{1.5 \times 10^{8} \text{ км}} = \frac{9.5}{1.5} \times 10^{(12-8)} = \frac{95}{15} \times 10^{4} = \frac{19}{3} \times 10^{4} = \frac{190000}{3} \text{ а.е.} $$

Теперь преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$$ \frac{190000}{3} = 63333 \frac{1}{3} \text{ а.е.} $$

Ответ: 63333 $\frac{1}{3}$ а.е.

б) суток понадобится летательному аппарату, скорость которого 20 000 км/ч, чтобы добраться до Марса, если расстояние от Земли до Марса в момент противостояния (максимального сближения планет) равно 0,37 астрономической единицы.

Решение этой задачи состоит из трех шагов:

1. Вычисление расстояния до Марса в километрах.
2. Расчет времени полета в часах.
3. Перевод времени из часов в сутки.

1. Вычисление расстояния в километрах ($S$)

Расстояние дано в астрономических единицах, переведем его в километры:

$$ S = 0.37 \text{ а.е.} \times (1.5 \times 10^{8} \text{ км/а.е.}) = 0.555 \times 10^{8} \text{ км} = 55\;500\;000 \text{ км} $$

2. Расчет времени в часах ($t_{часы}$)

Используем формулу времени $t = S/v$, где $v$ - скорость аппарата.

$$ t_{часы} = \frac{55\;500\;000 \text{ км}}{20\;000 \text{ км/ч}} = \frac{5550}{2} \text{ ч} = 2775 \text{ часов} $$

3. Перевод времени в сутки ($t_{сутки}$)

В одних сутках 24 часа. Делим полученное время в часах на 24:

$$ t_{сутки} = \frac{2775}{24} \text{ суток} $$

Сократим дробь на 3:

$$ \frac{2775 \div 3}{24 \div 3} = \frac{925}{8} \text{ суток} $$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$ \frac{925}{8} = 115 \frac{5}{8} \text{ суток} $$

Ответ: 115 $\frac{5}{8}$ суток.