вопросы, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. В результате умножения одночлена на многочлен получился многочлен, содержащий 5 членов. Сколько членов было у данного многочлена?

2. В результате деления многочлена, содержащего 5 членов, на одночлен получился многочлен, содержащий 4 члена. Верно ли выполнено деление?

3. Можно ли узнать степень многочлена, полученного при умножении одночлена второй степени на многочлен пятой степени?

1. В результате умножения одночлена на многочлен получился многочлен, содержащий 5 членов. Сколько членов было у данного многочлена?

При умножении многочлена на одночлен, отличный от нуля, используется распределительный закон умножения. Это означает, что каждый член исходного многочлена умножается на этот одночлен.

Пусть многочлен $P$ состоит из $n$ членов: $P = a_1 + a_2 + ... + a_n$. Пусть одночлен равен $M$. Тогда их произведение равно: $M \cdot P = M \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_n) = M \cdot a_1 + M \cdot a_2 + ... + M \cdot a_n$.

Если исходный многочлен был записан в стандартном виде (то есть в нем не было подобных слагаемых), то после умножения на одночлен $M$ (при $M \neq 0$) в получившемся выражении также не будет подобных слагаемых. Таким образом, количество членов не изменится.

Поскольку в результате умножения получился многочлен, содержащий 5 членов, это означает, что и в исходном многочлене было 5 членов.

Ответ: 5.

2. В результате деления многочлена, содержащего 5 членов, на одночлен получился многочлен, содержащий 4 члена. Верно ли выполнено деление?

Деление многочлена на одночлен, как и умножение, выполняется почленно. Каждый член многочлена-делимого делится на одночлен-делитель.

Пусть многочлен $P = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ (5 членов в стандартном виде), а одночлен равен $M$. Тогда их частное равно: $P / M = a_1/M + a_2/M + a_3/M + a_4/M + a_5/M$.

Если все члены многочлена $P$ делятся нацело на одночлен $M$, то в результате должен получиться многочлен, состоящий из того же количества членов, что и исходный, то есть из 5. Это связано с тем, что если в исходном многочлене не было подобных членов, то и после деления каждого из них на один и тот же одночлен, подобных членов не появится.

Получение 4 членов вместо 5 указывает на одно из двух:

• Исходный многочлен не был приведен к стандартному виду (например, содержал подобные слагаемые, которые "схлопнулись" после деления).
• При выполнении деления была допущена ошибка (например, один из членов был неверно сокращен или пропущен).

В рамках стандартного выполнения алгебраических операций, если исходный многочлен содержит 5 членов, то и результат деления на одночлен должен содержать 5 членов.

Ответ: Нет, деление выполнено неверно.

3. Можно ли узнать степень многочлена, полученного при умножении одночлена второй степени на многочлен пятой степени?

Да, можно. Степень многочлена – это наибольшая из степеней его членов. Степень произведения многочленов равна сумме их степеней. Это правило распространяется и на случай умножения многочлена на одночлен.

Пусть у нас есть одночлен степени 2 (например, $3x^2$) и многочлен степени 5 (например, $4x^5 + 2x - 1$).

При их умножении мы получим новый многочлен. Старший член этого нового многочлена будет результатом умножения одночлена на старший член исходного многочлена: $(3x^2) \cdot (4x^5) = 12x^{2+5} = 12x^7$.

Степень произведения двух одночленов равна сумме их степеней. Так как мы умножаем член наивысшей степени (5) на одночлен степени 2, степень результирующего члена будет $5 + 2 = 7$. Никакой другой член в произведении не сможет иметь степень выше, чем 7.

Таким образом, степень результирующего многочлена будет равна сумме степеней исходных одночлена и многочлена.

Степень = (степень одночлена) + (степень многочлена) = $2 + 5 = 7$.

Ответ: Да, можно, степень полученного многочлена будет равна 7.