Номер 2.193, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.193. Представьте многочлен $5a^4 - 8a^3 + 5a^2 - 7a$ в виде:

а) суммы одночлена и трехчлена;

б)* разности трехчлена и двучлена.

Дан многочлен $5a^4 - 8a^3 + 5a^2 - 7a$.

Чтобы представить данный многочлен, состоящий из четырех членов, в виде суммы одночлена и трехчлена, нужно сгруппировать члены. Мы можем выбрать любой из четырех членов в качестве одночлена, а остальные три составят трехчлен.

Например, выберем первый член $5a^4$ как одночлен. Тогда оставшиеся члены $(-8a^3 + 5a^2 - 7a)$ образуют трехчлен.

Таким образом, сумма будет выглядеть так:

$5a^4 + (-8a^3 + 5a^2 - 7a)$

Существуют и другие варианты, например, если выбрать в качестве одночлена $-7a$:

$-7a + (5a^4 - 8a^3 + 5a^2)$

Оба варианта являются верными. Приведем первый из них в качестве ответа.

Ответ: $5a^4 + (-8a^3 + 5a^2 - 7a)$

Чтобы представить многочлен в виде разности трехчлена и двучлена, необходимо выполнить преобразование, которое позволит сгруппировать члены нужным образом. Часто для этого используется метод добавления и вычитания одного и того же выражения.

Рассмотрим исходный многочлен: $5a^4 - 8a^3 + 5a^2 - 7a$.

Мы можем представить один из его членов в виде разности. Например, представим член $5a^2$ как $10a^2 - 5a^2$.

$5a^4 - 8a^3 + (10a^2 - 5a^2) - 7a$

Теперь сгруппируем первые три члена, чтобы получить трехчлен, а из оставшихся членов сформируем двучлен, вынеся знак минус за скобки:

$(5a^4 - 8a^3 + 10a^2) - 5a^2 - 7a = (5a^4 - 8a^3 + 10a^2) - (5a^2 + 7a)$

В результате мы получили разность, где уменьшаемое — это трехчлен $(5a^4 - 8a^3 + 10a^2)$, а вычитаемое — это двучлен $(5a^2 + 7a)$.

Это не единственный способ. Например, можно было бы преобразовать член $-8a^3$ как $-7a^3 - a^3$:

$5a^4 - 7a^3 - a^3 + 5a^2 - 7a = (5a^4 - 7a^3 + 5a^2) - a^3 - 7a = (5a^4 - 7a^3 + 5a^2) - (a^3 + 7a)$

Приведем первый из найденных вариантов в качестве ответа.

Ответ: $(5a^4 - 8a^3 + 10a^2) - (5a^2 + 7a)$