Номер 2.196, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.196. Вычислите: $\left(2\frac{2}{3}\right)^7 \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^{-8} \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^{-13}$

Для вычисления значения выражения $(2\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{8})^{-8} \cdot (\frac{8}{3})^{-13}$ необходимо упростить его, приведя все множители к одному основанию.

1. Преобразуем смешанную дробь $2\frac{2}{3}$ в неправильную:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

2. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и применим его ко второму множителю:

$(\frac{3}{8})^{-8} = (\frac{8}{3})^8$

3. Теперь подставим преобразованные множители в исходное выражение. Все множители будут иметь одинаковое основание $\frac{8}{3}$:

$(\frac{8}{3})^7 \cdot (\frac{8}{3})^8 \cdot (\frac{8}{3})^{-13}$

4. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(\frac{8}{3})^{7+8+(-13)} = (\frac{8}{3})^{15-13} = (\frac{8}{3})^2$

5. Вычислим полученное значение, возведя дробь в квадрат:

$(\frac{8}{3})^2 = \frac{8^2}{3^2} = \frac{64}{9}$

6. Преобразуем неправильную дробь $\frac{64}{9}$ в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{64}{9} = 7\frac{1}{9}$

Ответ: 7$\frac{1}{9}$.