Номер 2.206, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.206. Выполните деление многочлена на одночлен:

а) $(3a^3 - 4a^2) : a;$

б) $(8x^5 + 4x^4 - 2x^2) : (-2x^2);$

в) $(5x^4 y^2 - 3x^3 y^3) : (x^2 y^2);$

г) $(35m^5 n^4 - 10m^6 n^5 + 5m^3 n^4) : (-5m^3 n^4).$

а) Дано выражение: $(3a^3 - 4a^2) : a$.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен, сохраняя знаки между ними:
$(3a^3 - 4a^2) : a = \frac{3a^3}{a} - \frac{4a^2}{a}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n})$.
Выполним деление для каждого члена:
$\frac{3a^3}{a} = 3a^{3-1} = 3a^2$.
$\frac{4a^2}{a} = 4a^{2-1} = 4a$.
Результатом является разность полученных выражений: $3a^2 - 4a$.
Ответ: $3a^2 - 4a$.

б) Дано выражение: $(8x^5 + 4x^4 - 2x^2) : (-2x^2)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $(-2x^2)$:
$(8x^5 + 4x^4 - 2x^2) : (-2x^2) = \frac{8x^5}{-2x^2} + \frac{4x^4}{-2x^2} + \frac{-2x^2}{-2x^2}$.
Выполним деление для каждого слагаемого:
$\frac{8x^5}{-2x^2} = -4x^{5-2} = -4x^3$.
$\frac{4x^4}{-2x^2} = -2x^{4-2} = -2x^2$.
$\frac{-2x^2}{-2x^2} = 1x^{2-2} = 1x^0 = 1$.
Сложив полученные одночлены, получаем результат: $-4x^3 - 2x^2 + 1$.
Ответ: $-4x^3 - 2x^2 + 1$.

в) Дано выражение: $(5x^4y^2 - 3x^3y^3) : (x^2y^2)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $(x^2y^2)$:
$(5x^4y^2 - 3x^3y^3) : (x^2y^2) = \frac{5x^4y^2}{x^2y^2} - \frac{3x^3y^3}{x^2y^2}$.
Выполним деление для каждого члена, применяя правило деления степеней для каждой переменной:
$\frac{5x^4y^2}{x^2y^2} = 5x^{4-2}y^{2-2} = 5x^2y^0 = 5x^2$.
$\frac{3x^3y^3}{x^2y^2} = 3x^{3-2}y^{3-2} = 3x^1y^1 = 3xy$.
Результатом будет разность: $5x^2 - 3xy$.
Ответ: $5x^2 - 3xy$.

г) Дано выражение: $(35m^5n^4 - 10m^6n^5 + 5m^3n^4) : (-5m^3n^4)$.
Разделим каждый член многочлена на одночлен $(-5m^3n^4)$:
$(35m^5n^4 - 10m^6n^5 + 5m^3n^4) : (-5m^3n^4) = \frac{35m^5n^4}{-5m^3n^4} + \frac{-10m^6n^5}{-5m^3n^4} + \frac{5m^3n^4}{-5m^3n^4}$.
Выполним деление для каждого слагаемого:
$\frac{35m^5n^4}{-5m^3n^4} = -7m^{5-3}n^{4-4} = -7m^2n^0 = -7m^2$.
$\frac{-10m^6n^5}{-5m^3n^4} = 2m^{6-3}n^{5-4} = 2m^3n^1 = 2m^3n$.
$\frac{5m^3n^4}{-5m^3n^4} = -1m^{3-3}n^{4-4} = -1m^0n^0 = -1$.
Результат: $-7m^2 + 2m^3n - 1$. Для приведения к стандартному виду, расположим члены по убыванию степени переменной $m$: $2m^3n - 7m^2 - 1$.
Ответ: $2m^3n - 7m^2 - 1$.