Номер 2.208, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.208. Докажите, что значение выражения $2^{8n-2} : 32^{n+7} \cdot 8^{-n+3}$ не зависит от значения переменной.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от переменной $n$, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения переменная $n$ сократится, утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$2^{8n-2} : 32^{n+7} \cdot 8^{-n+3}$

Согласно стандартному порядку выполнения арифметических операций, деление и умножение имеют одинаковый приоритет и выполняются последовательно слева направо. Таким образом, выражение можно переписать в виде дроби:

$\frac{2^{8n-2}}{32^{n+7}} \cdot 8^{-n+3} = \frac{2^{8n-2} \cdot 8^{-n+3}}{32^{n+7}}$

Чтобы упростить выражение, приведем все числа с основаниями степеней к одному основанию — 2. Нам известно, что:

• $32 = 2^5$
• $8 = 2^3$

Подставим эти значения в наше выражение:

$\frac{2^{8n-2} \cdot (2^3)^{-n+3}}{(2^5)^{n+7}}$

Далее применим свойство возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Для числителя: $(2^3)^{-n+3} = 2^{3 \cdot (-n+3)} = 2^{-3n+9}$

Для знаменателя: $(2^5)^{n+7} = 2^{5 \cdot (n+7)} = 2^{5n+35}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{2^{8n-2} \cdot 2^{-3n+9}}{2^{5n+35}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. Упростим числитель:

$2^{(8n-2) + (-3n+9)} = 2^{8n-2-3n+9} = 2^{5n+7}$

Теперь наше выражение приняло вид:

$\frac{2^{5n+7}}{2^{5n+35}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$.

$2^{(5n+7) - (5n+35)} = 2^{5n+7-5n-35} = 2^{7-35} = 2^{-28}$

В результате упрощений мы получили значение $2^{-28}$. Это число является константой и не содержит переменную $n$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от значения переменной $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Значение выражения постоянно и равно $2^{-28} = \frac{1}{2^{28}}$. Так как это правильная дробь, ее целая часть равна 0.