Номер 3.35, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.35*. Определите, при каком значении $a$ уравнения $5x - 1 = 2a - 2$ и $3x + 2 = a + 5$ равносильны.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Для того чтобы данные линейные уравнения были равносильны, их корни (решения для $x$) должны быть равны.

1. Выразим $x$ из первого уравнения: $$5x - 1 = 2a - 2$$ $$5x = 2a - 2 + 1$$ $$5x = 2a - 1$$ $$x = \frac{2a - 1}{5}$$

2. Выразим $x$ из второго уравнения: $$3x + 2 = a + 5$$ $$3x = a + 5 - 2$$ $$3x = a + 3$$ $$x = \frac{a + 3}{3}$$

3. Так как уравнения равносильны, приравняем полученные выражения для $x$: $$\frac{2a - 1}{5} = \frac{a + 3}{3}$$

4. Решим полученное уравнение относительно $a$. Для этого воспользуемся свойством пропорции (перекрестным умножением): $$3(2a - 1) = 5(a + 3)$$ Раскроем скобки: $$6a - 3 = 5a + 15$$ Перенесем члены с переменной $a$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую: $$6a - 5a = 15 + 3$$ $$a = 18$$

Проверим полученный результат. Подставим $a=18$ в оба исходных уравнения.
Первое уравнение: $5x - 1 = 2(18) - 2 \Rightarrow 5x - 1 = 36 - 2 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7$.
Второе уравнение: $3x + 2 = 18 + 5 \Rightarrow 3x + 2 = 23 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7$.
Поскольку корни обоих уравнений совпадают ($x=7$), значение $a=18$ найдено верно.

Ответ: 18